初一數學:絕對值壓軸題的三種題型解析(培優題)

|－2|＋|3|＞|－2＋3|

|－6|＋|3|＞|－6＋3|

|－2|＋|－3|＝|－2－3|

|0|＋|－8|＝|0－8|

（1）歸納：|a|＋|b|_____|a＋b|（用「＞」或「＜」或「＝」或「≥」或「≤」填空）

【應用】（2）根據上題中得出的結論，若|m|＋|n|＝13，|m＋n|＝1，求m的值．

【延伸】（3）a、b、c滿足什麼條件時，|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|．

參考答案：（1）≥

（2）由上題結論可知，因為|m|＋|n|＝13，|m＋n|＝1，|m|＋|n|≠|m＋n|，所以m、n異號.

當m為正數，n為負數時，m－n＝13，則n＝m－13，|m＋m－13|＝1，m＝7或6

當m為負數，n為正數時，－m＋n＝13，則n＝m＋13，|m＋m＋13|＝1，m＝－7或－6

綜上所述，m為±6或±7

（3）分析：若按a、b、c中0的個數進行分類，可以分成四類：

第一類：a、b、c三個數都不等於0

①1個正數，2個負數，此時|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|

②1個負數，2個正數，此時|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|

③3個正數，此時|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除

④3個負數，此時|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除

第二類：a、b、c三個數中有1個0 【結論同第（1）問】

①1個0，2個正數，此時|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除

②1個0，2個負數，此時|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除

③1個0，1個正數，1個負數，此時|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|

第三類：a、b、c三個數中有2個0

①2個0，1個正數：此時|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除

②2個0，1個負數：此時|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除

第四類：a、b、c三個數都為0，此時|a|＋|b|＋|c|＝|a＋b＋c|，故排除

綜上所述：1個負數2個正數、1個正數2個負數、1個0，1個正數和1個負數.

例題2、已知:b是最小的正整數,且a、b滿足(c-5)^2 +|a+b|=0

(1)請求出a、b、c的值;

(2)a、b、c所對應的點分別為A、B、C,線段AB的中點為M,線段BC的中點為N,P為動點,其對應的數為x,點P在線段MN上運動(包括端點).

①求x的取值範圍.

②化簡式子|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|(寫出化簡過程).

詳細解析

考點：數軸的定義，絕對值的性質

分析：本題考查了數軸與絕對值，需掌握絕對值的性質，正確理解AB，BC的變化情況是關鍵；

第（1）題根據b是最小的正整數，即可確定b的值，然後根據非負數的性質，幾個非負數的和是0，則每個數是0，即可求得a，b，c的值；

第②題以①為分界點，根據x的範圍分0≤x≤4/9、4/9＜x≤1、1＜x≤3確定x+1，x-1，x-4/9的符號，然後根據絕對值的意義即可化簡.

解答：（1）根據題意得：c-5=0，a+b=0，b=1，∴a=-1，b=1，c=5.

（2）①（-1+1）÷2=0，（1+5）÷2=3，∴x的取值範圍為：0≤x≤3.

②當0≤x≤4/9時，x+1＞0，x-1＜0，x-4/9≤0，

∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1+(x-1)-2(x-4/9)=x+1+x-1-2x+8/9=8/9；

當4/9＜x≤1時，x+1＞0，x-1≤0，x-4/9＞0．

∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1+(x-1)+2(x-4/9)=x+1+x-1+2x-8/9=4x-8/9；

當1＜x≤3時，x+1＞0，x-1＞0，x-4/9＞0．

∴|x+1|-|x-1|+2|x-4/9|=x+1-(x-1)+2(x-4/9)=x+1-x+1+2x-8/9=2x-10/9；

例題3、數軸上從左到右的三個點 A，B，C 所對應數的分別為 a，b，c.其中AB=2017，BC=1000，如圖所示．

（1）若以B為原點，寫出點A，C所對應的數，並計算a＋b＋c 的值．

（2）若原點O在A，B兩點之間，求 |a|+|b|+ |b-c| 的值．

（3）若O是原點，且OB=17，求a+b－c的值．

參考答案

(1)以B為原點，點A，C對應的數分別－2017，1000，

a＋b＋c=－2017＋0＋1000=－1017．

(2)當原點O在A，B兩點之間時，｜a｜＋｜b｜=2017，｜b－c｜=1000，

∴ ｜a｜＋｜b｜+｜b－c｜2017 +1000 = 3017 ．

附另解：點 A，B，C 對應的數分別 b－2017，b，b＋1000，

∴ |a|+|b|+|b-c|=2017-b+b+1000= 3017．

(3)若原點O在點B的左邊，則點A，B，C 所對應數分別是 a=－2000，b=17， c=1017，

則 a＋b－c=－2000＋17－1017=－3000；

若原點O在點B的右邊，則點A，B，C所對應數分別是 a=－2034，b=－17， c=983，

則 a＋b－c=－2034＋(－17)－983=－3034

絕對值作為初一數學的重點和難點，解題時一定要注意分類討論。具體分類討論的方法有：①零點分段法；②點的左右兩邊分類討論等。絕對值，是初一數學上冊有理數章節的一個重難點。因為絕對值的出現，給題目多了一個分類討論的機會；也給題目增加了難度，使考試的區分度更具有信度。

所以，絕對值的學習，尤其是與絕對值相關的壓軸題學習成了很多同學的期盼。這裡精選三道不同類型的含絕對值的壓軸題，供需要的同學考！