餘數和除數關係的探討 | 二下數學課堂實錄

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前言

本節課是學生在初步接觸有餘數除法後，對有餘數除法模型的進一步探究。

通過小棒擺正方形來進一步體會餘數和除數的關係，進一步辨證理解有餘數除法模型：「總數÷份數=每份數·······不夠一份的個數」。

同時通過用小棒擺正方形觀察正方形的個數和餘下的小棒數明確商與餘數的單位名稱，進一步鞏固有餘數除法的思想。

上課前，課堂單就已經發到學生手中。學生開始做課前複習，今天這節課複習的內容是上節課所學的有餘數除法。這裡的兩道題已經給學生出示了算式，只需要學生通過圈一圈便可以得出答案。

上課後，何老師首先帶領學生核對題目答案。

例題

今天的探究是用小棒擺正方形。何老師首先拿出8根小棒，在白板上擺出兩個正方形。何老師向學生們提出問題：「8根小棒擺成2個正方形，這個算式該怎麼列？」

學生爭先恐後回答道：「8除以4等於2。」何老師在白板上板書，學生們在課堂上進行記錄。

然後何老師在白板上的兩個正方形後面又加了一根小棒。

學生開始嘰嘰喳喳地討論9根小棒可以擺出幾個正方形，得出還是擺兩個但是餘下1根小棒的結論。

何老師繼續發問：「這個算式該怎麼列呢？」

學生回答道：「9除以4等於2餘1。」

何老師問：「2代表什麼，1代表什麼？」

學生經過思考，回答：「2代表的是兩個正方形，單位是個。1代表剩下的一根小棒，單位是根。」

這時何老師帶領學生關注到最後一欄，比較餘數與除數的關係。

在學生已經完全掌握除法算式中各部分名稱的基礎上，學生很快得出1＜4的答案。

何老師在白板上進行板書，學生在課堂單上記錄。用同樣的方法，何老師帶領學生探索了用10根、11根、12根小棒擺正方形的情形，並留有充足的時間讓學生自己探究13根、14根、15根、16根小棒擺正方形。

在探究活動完成後，何老師讓學生思考，從表中的數據，你可以得出什麼結論？

學生開始互相討論。討論聲逐漸變小，不少學生已經坐端正。看來很多學生心中已經有了答案，何老師開始提問。

瑤：「餘數一定比除數小。」

楠：「餘數按123的順序排列。」

特：「每兩個沒有餘數的式子之間有3個式子。」

萱：「平均分過程中沒有剩餘的時候就沒有餘數。」

4位同學的回答都是經過思考認真得出的結論，且都是正確的。何老師對這4位同學進行了表揚。緊接著，何老師與學生一起觀察思考，為什麼餘數是1、2、3，學生發現如果餘數等於4，那麼就可以構成一個正方形，就沒有餘下的小棒了，所以也就沒有餘數了。大家一致得出結論：餘數一定比除數小。

孩子們經歷了直觀感知——圖示表示——列式表示，從具體到抽象，進一步理解了有餘數除法的意義並建構了有餘數除法的模型。

第一題，何老師首先板書有餘數除法的模型（ ）÷（ ）=（ ）……（ ），並引導學生說出每部分括號所代表的意思。因為要擺的是5邊形，所以可以確定除數部分為5。再由本節課所得出的結論——餘數一定比除數小，學生們爭先恐後地回答道這題的答案可以為1、2、3、4。

用相同的解題思路，得出思考2的答案為1、2。

在講解完思考習題後，何老師在PPT上展示出解這兩道題所用到的模型以及思想，加深學生對這部分的印象。

把一些糖果平均分給6名同學，每個同學分到4顆，但還有剩餘，那麼這些糖果最多有多少？最少有多少？

何老師首先板書此題有餘數除法的模型：（ ）÷6=4……（ ）。

然後啟發學生，此題需要求的是被除數。被除數怎麼確定呢？與餘數有關。那麼餘數最大或者最小怎麼確定呢？與除數有關。就這樣不斷引導，學生自己得出餘數最大為5，此時糖果數量最多，為4×6＋5=29。餘數最小為1，此時糖果數量最少，為4×6＋1＝25。

從課堂上學生與何老師的互動情況可以感知，學生基本上理解了有餘數除法，並能運用「餘數一定比除數小」這個結論解題。

在算式 ☆÷8=7……○，想一想，○最大是（    ），此時，☆最大是（    ）。

第2題與第1題為同一類型。此題何老師在學生自己解答後帶領學生核對答案。

小華：我6個6個地分，最後會餘下5個。

小明：我3個3個地分，結果會怎樣呢？

第三題何老師從學生讀題時的反應了解到多數學生是不會做的，而且此題屬於比較抽象，難度係數較大的題。所以此題何老師選擇帶領學生分析。

由於此題太過抽象，結合二年級學生的思維特點，何老師給出具體數字17，並通過擺小棒的方式幫助學生理解。

何：「同學們，如果假設我有17根小棒，每6個分成一份，可以分成幾份餘下幾個？」

生：「分成2份，餘下5。」

何：「如果我將這17根小棒，每3根擺在一起，可以分成幾份，餘下幾個呢？」

學生觀察何老師在白板上的演示，迅速得出答案，為「可以分成5份，餘下2根」。

通過具體的數字，學生很容易理解了這道題的答案為什麼是2。

本節課的新授內容到此結束，何老師給學生布置了相應的課後習題。

1.何老師新授這節課時，需要用擺正方形的方法讓學生發現並總結出「餘數一定比除數小」的規律。在實際操作時，何老師選擇自己在白板上演示讓學生動手畫的方式。極大提高了課堂效率，避免因學生對小棒產生好奇不認真思考老師拋出問題的嫌疑。

2.模型清晰，結構完整。整節課在圍繞上節課所學有餘數除法模型的基礎上，總結出除數與餘數的關係。一節課重點突出，層次清晰，非常利於學生掌握，不會出現概念混淆。

3.習題富有代表性，難度得當。本節課上，思考與例題加在一起共有5題。何老師選擇的這5題非常有代表性而且難度逐級上升。有幫助學生鞏固所學的基礎題，也有訓練學生思維的難度係數較大的題。

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數學建模初探之「有餘數除法」建模

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