小學奧數是什麼?機構的奧數錯在哪裡?

   

   首先說一下奧數，它其實跟我們小學、初中、高中課內知識體系，是不一樣的。它雖然是數學，但它是數學的一個變種，是一個很特殊的東西。我這裡給大家畫一張圖，這裡方框部分代表課內知識，從上到下，藍色方塊是小學知識，深紫色方塊代表初中知識，咖啡色的代表高中知識。大家可以看到，競賽知識，有一部分來自小學，初中甚至高中課內知識，另有一部分，在課內從來沒碰到過。有些家長看了小學奧數題目，覺得自己好像從來沒學過數學一樣。這個大家不要奇怪，這是因為奧數它的數學體系是不一樣的。

   怎樣應對奧數？那麼我的建議就是，先把數學的知識體系，來龍去脈理解。理解以後再去從競賽考試中鍛鍊，這樣才能提高能力，積累經驗。那麼裡面的知識點大概有怎樣的框架呢，我是有一個大綱的。大框架如圖：（不用細看，我會介紹的。）

   我的建議，幼兒園的重點不是學什麼思維，而是儘早地過掉計算關。大家要清楚地知道，這些幼兒園的思維，完全是沒有用的，根本不用花這個時間，先把計算關給過掉。計算關包括：大數的加減乘除四則運算，大數就是三位、四位、五位甚至以上的數，他們的加減乘除的四則運算。如果年齡大一點的話，就是小數、分數這些計算要過關。然後開始系統地學數學。    整個框架已經有了，我是引入了負數的概念，實數集的概念。再講到變量，表達式，方程和方程組。有人說方程是初中的知識，根據我的研究，小學絕大部分應用題都能用方程等代數方法來解決，這樣省去了時間，不要去學各種套路。

   然後講不定方程，不等式，引入數論中的奇偶性，質數合數，倍數因數，整除同餘，數論和代數方程結合起來講，這是個比較理想的切入點。再講一些課堂裡不講的圖論，圖論到大學裡有一門課叫離散數學，也是會學的，但是小學、中學裡是不會學的，但是在選拔性的考試裡會有。再比如容斥原理，其實是集合論裡上的小定理，在奧數競賽裡用得比較多。容斥、抽屜、邏輯也是經常會考的，邏輯也是大學離散數學的一個分支，裡面很多有用的定理，比如迪摩根定理一般學習是不會學到的。在學邏輯的時候，可以引進等價命題反證法，這些都是和邏輯有關係的，這些在小奧機構裡沒有講到，但是要學透的話，這些都是要講的，包括幾何的證明都是要講的，全等相似，如果沒有這個，外面的蝴蝶、沙漏、鳥頭，都是空中樓閣。不知道怎麼證明的話，就不知道來龍去脈。

   最後，提早引入一些常用的定理，比如勾股定理，這個在幾年之前，小學是不講的。但是後來中環有了兩道勾股定律的題，之後它就進入考試的範圍之內了。後面一些可以不學，但是學了以後，你會發現很多題目其實有很簡潔的做法，比如海倫公式和正弦餘弦定理應該要知道一下，然後鳥頭模型就很容易理解。如果你會梅涅勞斯定理呢，燕尾定理就可以不用了。塞瓦定理，面積割補，都是競賽裡經常碰到的，但是平時也不太教的。計數、排列組合、加乘原理和遞歸方法，都需要專門去講，這些原來都是在高中部分講的，但是現在也在小學奧數競賽的範圍裡邊。包括高中不常考的標數法、倒推法，但是在競賽裡面卻考得很多。這些就是競賽和平時課內學習不一樣的地方。外面行程問題考的很多，但是對我來說不是關鍵，因為變量之間的等量關係能夠列出來，那麼行程問題根本就不用花太大力氣。    學會了這個知識體系後，很多人說要去刷題，覺得刷題可以提高效率應付考試。但是我沒有讓小孩刷很多題，如果刷的話，就用歷屆真題給他鍛鍊，再加上我自己也編一些題目，質量提高了，刷題數量相對就可以減少。    那麼合理的規劃，是怎樣的呢？用1、2年的時間把奧數需要的基礎知識掌握，然後再開始實戰訓練，用四大杯賽的真題。用1年的時間，每周刷一套卷子，堅持1到2年的時間，那麼既學到了知識，又得到了運用。目標就是到4年級的時候，拿到一些杯賽的獎項，對今後的中學學習來說，也是很有幫助了。大家看到很多內容要講的，這些其實已經是很精華很集中的了（機構其實要講5年）。

   我們介紹一個思路，所謂二八法則，經濟學家帕累託說的，社會上80%的人只擁有社會20%的財富，80%的財富在那些20%的人手裡。聽上去有點不平衡，但是很多地方都是有這個二八法則。比如說學習的方法上，在奧數獲獎現狀上，前20%的人包攬了80%的獎項，說得激烈一點，更可能是前15%的人獲得95%的獎項也可能。奧數的學習方法也是這樣，用20%的精力掌握80%的量，這個才是正確的方法，就是提高效率，而不是拼血。拼血是一件很無奈的事情。而我們現在80%的人在幹什麼事情呢，做跟大家差不多的事情。你看論壇上的帖子都是這樣子：一個是跟什麼機構，問的是你在哪個機構什麼班。第二個問的是，你在做哪些題目，做的是哪本書的題目。80%的人學奧數都是用這個方法學的。這個是沒有辦法的事情，因為奧數的題目分布非常廣，一個機構的教法套路，不能覆蓋多種題型和知識點，很多人就上三個奧數班，四個奧數班，天天上課，天天回來還得刷題，做不同的習題書，把相關的書都做一遍，今後考試遇到類似的題，你就會做了。但實際上這是不對的，因為你是一個學生啊，你不是一個出題的老師，也不是專家。這麼多書，應該是我這樣一個給組委會供題老師做研究用的，我把這些題做一做，這個才是可以的，家長和學生都不應該做這個事情。有人說，那我去什麼機構的金牌班就可以了，那麼問題是同一本書，給不同的老師來上，效果也是有天壤之別的。老師才重要，哪個機構哪個班不重要。你研究這種班有什麼意義呢，這個差異很多，沒有必要去研究。

   奧數機構有幾個常見的弊病。 這些我們家長應該要知道的，它是用題目類型來進行分類，進行上課的。比如這節課講「牛吃草」，其實就是牛頓很早之前發明的應用題，這一類型的都叫「牛吃草」：草原上的草不斷地長，牛在不斷地吃，草長得慢，牛吃得快，最終草全部被吃光。但是幾堂課講這個東西，就是不科學，因為這本身就是搭個簡單的模型，用幾個變量排一個式子就能解的事情，這個不值得花幾堂課或者專門來講這個事情。流水行船，火車過橋，很多書上都是這樣講的，這個專門用幾堂課來講，就是不合理。在我看來就是含有變量的應用題，你方程懂了，火車過橋基本原理掌握了，都可以輕鬆地解決，不需要花那麼多的時間去學。

   還有個問題，很多機構在1、2年級代數體系中，沒有引入變量系統，代數表達式和方程，就是沒有一個趁手的工具用來解題。他們用什麼方法來解題呢，教你一些公式，這些公式今後可能不會用到，和差倍公式啊，盈虧公式啊，或者畫個線段圖。畫線段圖不是不好，問題到後期效率很低，很複雜的問題畫個線段圖就不能解決了。   還有一個比較嚴重的問題，因為學數學要系統學，如果幾何從來不講定理和證明，這個事情是不對的，因為平面幾何的精華所在就是嚴謹的邏輯系統，你沒有推理，沒有假設，沒有分析和來龍去脈，就直接給你講一個定理，也不證明，這個等於沒有學幾何，這個根本沒有起到學習數學，鍛鍊思維的作用，這點問題很大。但是所有小奧機構都是這樣在教。    還有一點，就是為做題而做題，原因就是為了競賽把題做對，以做題為綱，不解釋為什麼要這樣做，這個方法背後的道理是什麼，題目本質是什麼它沒有說，還有數學問題的解決和描述，不規範。講容斥原理，不講集合的併集交集，就直接講容斥原理，它講不清楚。包括不定方程，我看過所有的機構不定方程的章節，基本上沒有一個機構是講清楚特解和通解當中的關係的，這些是數學當中一定要講清楚的東西，也沒有講清楚。導致小朋友學的東西不全，或者學不正規的版本，造成對數學的把握不紮實，這些問題都是存在。    更有問題的是，幾個機構的教材看下來，大部分都是大同小異的，相互抄襲的，沒有原創的，或者創立前後一體的一個系統，原創性和啟發性很差。而且機構整個時間拖得太長，從幼兒園就開始上，一直上到五年級，太長了，而且學的東西對將來初中、高中有沒有幫助呢？可以說沒有非常大的幫助。它教你的東西，都是校數外面的，不是用校數裡面可重用的東西給你上，到了初中很多方法要重新來過，包括知識體系要重新學一遍，這個是很不划算的一件事，系統性就沒有了。

   按照機構的思路來學，勢必面臨從小奧機構體系到初中代數幾何體系的轉換，所以很多機構又開出高年級的小升初衝刺銜接課程，開始再花精力學習另外一個新體系。而如果一開始就系統學數學，何來這麼多彎路呢？

   怎麼學？我給大家一個建議：「重要性原則」。    先學對將來有幫助的東西。我總結出來，一個是代數體系，一個是幾何，還有一個方法論，就是為什麼要這樣想。這三個東西很重要。    還有一個推導理解的原則，不能去死記公式，必須知道公式的來歷，才能知道什麼場合去用。    多思考多問為什麼，想通是非常關鍵的。並不是會用公式去解題就行，主要把本質的東西想明白，這是最關鍵的。在理解這些知識體系的基礎上，再去應用。用什麼來練，不要用刷題書，直接做歷屆真題。並且用你學過的這套知識體系來做，這是我的經驗。    還有一個經驗就是，一題多解，儘量多挖掘不同的解法，如果錯了，要搞清楚錯在哪裡，要能夠舉一反三，下次不能在同一個地方跌倒。    考試在做很多事情的時候，不能面面俱到，要抓住最重要的，做對基礎題。提高熟練程度和正確率，包括考試技巧。    基本題要抓住保證對，中等題拼一拼，難題直接放棄，不要花太多的時間在上面。但是平時遇到難題的時候，要好好思考自己想通，最重要的要形成自己的解題體系，你的知識體系是什麼東西，不是別人給你的，是帶有你自己思想的、你理解的一個體系。

   講規劃，就是如果要學，怎麼學。第一個要提前學，第二個要系統學，對於老師來說，還要啟發你學。    什麼是提前學，就是最晚2年級把加減乘除搞定，甚至小學之前搞定，這個很重要。然後按照我寫的奧數體系，用兩年的時間把應付小奧的知識體系全部學完，2年實際是比較寬裕的，一個周期7個月，你可以學上3個多周期了。同時真題實戰解析，也是我寫的一門課，用1到2年把歷屆真題（前5年到前10年的題）全部做一遍，把學到的知識用到題目當中去。    然後就看你的選擇了。如果你到四年級的時候，已經有了不少證書，或者你根本不打算拼奧數證書，你在4、5年級就不該把小學奧數當作主要放精力的對象，應該學初中和高中的內容。用1、2年時間把初中的基礎甚至把提高部分也完成。如果你能夠做到這點的話，差不多你的提前量會比人家早3到4年，這樣的話勝率會比較大一點。

（節選自原2017年2月講座的文字版節選，原文錄音和PPT在網盤 https://pan.baidu.com/s/1smnQOQp 密碼: utp7）

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