大家好，我是溫州市籀園小學的黃央央，朱樂平名師工作站「一課研究」第7小組的成員。很高興與您在「一課研究」的微信平臺相遇。
聽一聽：小學階段乘法的不同現實模型分析與教學建議
讀一讀：聯結乘法意義，構建乘法模型 ——「乘、除法的意義和各部分之間的關係」教材分析與教學設計
笑一笑：結果
——閆雲梅，劉琳娜，劉加霞.小學階段乘法的不同現實模型分析與教學[J]課程·教材·教法：2014（3）.
多元表徵倍比關係，實現乘法模型的再建構
——用小數點移動的變化規律來解決問題
聯結乘法意義，構建乘法模型
——「乘、除法的意義和各部分之間的關係」教材分析與教學設計
（一）單元內容結構
「乘法的意義」作為整合單元在小學階段主要分為整數乘法意義、小數乘法意義、分數乘法意義這三個階段來進行學習。其中整數乘法意義是小數和分數乘法意義學習的基礎，小數、分數乘法其本質都是在「幾個相同加數的和」的整數乘法意義基礎上進行拓展。這三個階段的乘法意義建構，其中心任務是引導學生從乘法意義的形式理解到「乘法模型」的建構。
（二）本課價值分析
隨著數域擴充，乘法的意義沒有發生本質的改變。這節課將聯結二到四年級整數數系中不同現實情境的乘法模型，即將其中的倍數模型、面積模型、配對模型轉化為最基本的等量組聚集模型[1]，為五六年級數系拓展後的意義理解奠定轉化和聯結基礎。本節課是整數乘法意義的第一次系統建構，意在從散點式乘法意義理解過渡到乘法意義的結構化建構。
為了更好地了解學生的認知基礎，確定學習難點，我根據顧泠沅的數學學科教學目標分類的四層次框架，開展了前測。
前測發現絕大部分學生對乘除法各部分之間的關係和用乘法定義來解釋是否能列乘法算式等方面不存在問題。但是在說明性理解上，雖然所有孩子都能對不同情境問題進行列式，但只有31.25%的學生能說明具體理由。在分析探究層次上，大約有41.7%的學生能對抽象的乘法代數式和未學的小數、分數乘法進行探究說明。
可以說，學生在乘法的形式定義理解和與乘除法之間的關係等方面並沒有太大的問題，但對於不同情境的乘法溝通上聯結上仍存在困難。同時前測涉及的「領會」和「分析」較高的認知層次都指向學生模型思想的建立，但大多學生沒有建立不同結構的乘法現實模型之間的聯繫，對乘法的認識還停留於初步的形式記憶階段，因此乘法模型亟待系統建立。
1.經歷四種乘法問題結構的表徵與抽象，深刻理解乘法概念。知道乘法和除法的關係以及各部分的名稱。
2.比較四種整數乘法結構問題，建構常見的數量關係模型，能將不同結構的乘法問題都轉化為「幾個幾」來解釋，理解不同情境下份數和每份數的不同意義，體驗化歸思想和模型思想。
3.經歷數系擴充，滲透小數、分數、代數乘法意義，在廣義認識「幾個幾」的過程中，發現數學內容處處存在聯繫，培養學生質疑和探究精神。
[重點]理解乘法的意義。
[難點]打通不同情境、不同數域下乘法意義的本質聯繫。
[準備]課件、學習單
這節課將創設大活動讓孩子經歷形式到意義、具體到抽象、零碎到結構的學習過程，即低水平形式理解到高水平模型意義建構，從零散的知識碎片到結構化的認知結構。
1.揭課題：乘法的意義
談話引出兩個關鍵問題：什麼是乘法？（學生舉例）為什麼要有乘法？（學生聯繫加法說明乘法的簡便性）
2.新舊概念建立聯繫：呈現二年級到四年級的乘法的意義，揭示定義。學生在舉例的乘法算式上指認因數和積各個部分的名稱。
1.初步理解形式定義
（1）提問：求幾個相同加數和的簡便運算是什麼意思呢？
具體舉例：「3×6」這條算式表示什麼意思？生結合意義說明。
（2）師小結：看來「3×6」，既可以表示3個6相加，也可以表示6個3相加，也就是幾個相同加數的和的簡便運算都可以用乘法來表示。
2.探究不同現實情境
（1）思考：「6×3「能解決哪些數學問題？下面的問題能用「6×3」來解決嗎？
（2）大活動：為什麼都能用「6×3」來解決？你能畫圖解釋嗎？
反饋：
①理解不同現實模型的意義：每個問題的3表示什麼，6表示什麼？6×3又表示什麼？
②尋找不同現實模型的聯繫：明明都是不同的問題，都用「6×3」解決，為什麼呢？
學生活動：獨立思考——同桌討論——全班交流與討論（板書每個現實模型的數量關係式），發現不同的現實問題都能提煉轉化為基本模型。
預設表徵素材：
①每個問題都是結合情境表徵，表徵結構都不同。
②「6×3」點子圖。
師結合生的不同標準化歸為幾個幾的表徵：它們都表示3個6的和，只不過在第一題6表示每袋有6個，第二個當中一份是6米，每種搭配是6個，這些都是代表一份的量；像這裡的3，可以表示3袋，也可以表示3段，3件上衣，還是3行，都是表示3份，也就是份數。所以其實這些就是每份數×份數=總量。（課件出示、板書）
3.從抽象模型到現實問題：這裡的6和3還可以是？
4.聯結基本模型，回歸整理教材：
呈現教材：這些每份數×份數=總數，在我們之前學的很多乘法問題中反覆出現，你看，它還可以是……還可以是1個數的幾倍也就是幾份這樣的數……
其實乘法中的很多問題都可以轉化為「每份數×份數=總數」來看。
大任務：下列問題你能用乘法解決嗎？
1.出示圓片圖並變形得到乘法算式：
預設1：學生指出乘法模型框，說明不能列乘法算式的原因。
預設2：變形使每份一樣多進而得到乘法算式。
小結：總數都一樣，當我們把它都分成相同部分，就可以用乘法表達。所以，乘法是特殊的一種加法形式。
2.數系擴展：理解小數和分數的乘法意義
（1）問題：下面的問題能用乘法解決嗎？
（2）對比理解「幾個相同的整數」、「幾個相同的小數」、「幾個相同的分數」。
（3）小結：看來，不止是整數當中有乘法，其實小數、分數也有乘法，這個我們以後會繼續學習。
2.內容聯繫：
① 學了乘法意義，我們還可以接著研究什麼？（分類板書記錄學生有價值的問題）
② 出示課前自學記錄單，學生上臺匯報：乘法與其他運算之間的關係。
3.拓展反思：任意的「a×b」乘法算式是否也能用幾個幾來解釋。又該怎樣轉化為幾個幾呢？以問題意識總結全課。
一、結合乘法不同結構，提煉抽象概念共性
有研究者認為小學生的數學認知結構主要是加法結構和乘法結構，而乘法結構是在加法結構的基礎上產生的高層次數學認識結構，是最重要的結構。[2]學生在四年級基本完成各種主要乘法模型的學習，需要一次系統的梳理。因此這節課提供給孩子各種現實情境問題，讓學生在4種不同情境的乘法結構深刻理解「6×3」，並在畫圖表徵、直觀比較中發現所有的問題都可以轉化為最基本聚集模型，進而從對乘法的形式化定義理解轉為直觀模型理解。
二、打通整數乘法模型，拓展數域豐富理解
根據前測結果：學生列式正確但無法說明列式原因以及無法溝通不同問題之間的聯繫，說明學生沒有完成乘法高層次認知結構。這節課定位在實現學生對整數乘法概念的第一次系統建構，要實現兩次「打通」：一、橫向打通4種整數乘法結構；二、縱向打通不同數域的乘法意義。前者結合整數乘法結構，並將其化歸為「幾個幾」的聚集模型，為數域打通做鋪墊。後者將不同數域的乘法問題進行聯結，發現乘法模型的本質相同，為五六年級第二次系統建構乘法意義奠定基礎。
三、關聯不同運算結構，整體建構運算圖式
教學不僅要「見樹木，更見森林。」這節課是關於乘法意義的教學，還要將乘法運算與不同運算產生關聯。在深刻理解乘法意義後，學生基於自主學習單完成乘法與加法、除法的關聯，進而從整體上聯結不同運算，更深刻地理解運算。同時讓學生繼續思考「a×b」是否都能用「幾個幾」的基本模型進行解釋，為乘法意義的第二次拓展鋪墊，進而更整體地建構乘法意義。
[1]劉加霞.作為「模型」的乘法——對數學概念多元表徵的思考[J].小學教學（數學版），2008（10）：46-48.
[2]閆雲梅，劉琳娜，劉加霞.小學階段乘法的不同現實模型分析與教學[J]課程·教材·教法：2014（3）.
老師：「今天我們來學減法。比方說，你哥哥有5個蘋果，你從那兒拿走3個，結果怎樣。」
湯姆：「結果嘛，結果他肯定會揍我一頓！」