關於乘法教學的思考

2021-02-19 大本書院

圖、文、編輯 | LILY

校對|代傑

對於數學學習，有人說，沒有教不會的孩子，只有不會教的老師；還有人說，世界上沒有笨學生，只有笨老師。我就是這樣一個笨老師，儘管我讀書時從小到大數學成績還算優秀，數學也一直是我學得最輕鬆，也最擅長的一個科目。然而，我在數學教學過程中遇到好幾個3-4年級階段的學生，他們在學習乘法的過程中（主要是豎式乘法，兩位數及以上的乘法）總是倍感壓力，似乎困難重重。這時，若只是單純按照教材上的方法教他們，要麼學生理解不了，學不會；要麼即便當時學會了，但是過幾天就忘記，如此反覆多次仍然效果不佳。究其原因，是因為他們不理解背後的原理，而只是機械地記憶列豎式的技巧（如個位數跟個位數相乘，個位數再跟十位數相乘，第二行跟第一行對齊時最右邊要空一格等）。另外，有的學生雖然會豎式乘法，豎式除法，但是在學習乘法/除法分配律、方程、分數交叉相乘法，以及做乘除法相關的應用題時，到底是應該乘還是除總是一頭霧水，半猜半解，搞不清楚；還有的學生在初中數學整式、分式或函數學習中也遇到乘除分不清的問題。這一系列問題都跟乘法相關，根源在於學生是否深刻理解乘法背後的原理。因此我陸續進行了探究，站在怎麼教會學生的視角，有了以下心得體會：表內乘法即九九乘法表中的內容，是人教版二年級上冊的內容。面對二年級的小朋友，怎麼讓他們輕鬆、高效地學會九九乘法表？首先，我們要講清楚乘法的定義，乘法就是反覆做加法，它是一種人為的定義。例如3×5，讀做3乘5，表示3個5相加；反之，5×3，讀做5乘3，表示5個3相加。其次，讓小朋友用積木擺出乘法式子，比如3×5，小朋友需要數5個積木放一堆，重複3次，數一數總共有多少積木？再換另一個乘法式子，再擺積木，這個不斷練習的過程，就是讓他們反覆理解乘法定義的過程。一開始小朋友放積木可能是雜亂無章的，但是隨著練習次數增多，他們會自己摸索出擺放的次序和整潔性，如圖一所示。圖一  小朋友在用積木擺出乘法式子再次，準備一個10×10表格，讓小朋友在表格中擺放積木表示乘法式子。比如3×4，有的小朋友會豎著開始擺，最終擺放成4行3列，而有的小朋友會橫著開始擺，最終擺放成3行4列。由此會自然而然引發出一系列問題：為什麼3×4和4×3都是等於12？那麼4×5和5×4呢？是不是所有的乘法都存在相同的規律？帶著這些問題，讓小朋友們自己探索，最終他們會自己找到答案。圖二  在10×10表格中用積木擺出乘法式子接下來，以3的乘法為例，即1×3,2×3,3×3,.,9×3，讓小朋友用積木依次擺放出乘法式子，並提出問題：5×3比4×3多幾個積木？6×3比5×3呢？再換成4的乘法，重複這個過程。小朋友們經過3-5節課的學習後，雖然只學了5以內乘法，但能自行寫出7,8,9的所有乘法式子的正確得數。圖三  初學者直接寫出7、8、9所有的乘法式子的正確得數最後，去掉積木這個實物工具，提煉出乘法面積模型。如下圖四所示，4×5=20表示邊長分別為4和5的長方形的面積為20。經過前面幾個步驟的學習，小朋友能很順利地理解乘法面積模型。後續再學習除法時，也會用到這個面積模型：20÷4=？，即已知長方形面積是20，一個邊長是4，另一個邊長是多少？同樣地，後續學習多位數乘法、豎式乘法、乘法分配律，以及做乘除法相關的應用題時，當再次用到這個面積模型時就簡單易懂多了。利用乘法面積模型，可以很好地解釋乘法分配律和除法分配律：（a+b）×c=ac+bc；（a+b）÷c=a÷c+b÷c。各位讀者可以自行證明，即使遇到困難，也能從本文接下來的篇幅中找到答案。現在著重介紹一下多位數乘法和乘法豎式。以12×13為例，12×13表示邊長分別為12和13的長方形面積，我們可以將邊長12分割成10和2，邊長13分割成10和3。如下圖五所示，它被分割成四個小正方形A、B、C、D。因為A、B、C、D的面積和等於原來長方形的面積，所以，12×13=10×10+3×10+2×3+2×10。不用列豎式，小朋友也能容易、快速地算出正確結果。這個步驟需要多做一些練習，讓學生熟練掌握乘法面積模型。

那麼，怎麼解釋乘法豎式呢？如下圖六所示，可以用一個矩陣來表示邊長被分割、面積被分割的過程，12×13 =10×10+3×10+2×3+2×10將其豎著寫就成了圖六紅圈中的樣子，進一步簡化就成了我們熟知的乘法豎式。對於初學者，可以將乘法豎式只寫成紅圈中的樣子，多次練習，熟練掌握後自然就會簡化成我們熟知的乘法豎式了。

數學實際上是人類在幾千年生活實踐積累中產生的一門最基礎的學科，它源於生活經驗但又被提煉，抽象化而形成一套系統性的、嚴謹的知識體系。許多低年級的孩子學習數學時遇到困難，可能是因為我們熟知的數學定義、概念和理論對他們來說太抽象了，他們還不能很好地理解。我們在日常教學中要尊重孩子的特點、藉助實物工具模擬生活場景、還原數學的本質來引導學生們進行數學規律的探索和學習。只要抓住了這一點，加上肯花功夫琢磨怎麼完善教材和教學方法去適應孩子，順應兒童習慣、特徵和喜好，也能讓我這個笨老師升起信心：教數學其實也很簡單。

【參考文獻】

[1]伍鴻熙.數學家講解小學數學[M].北京大學出版社，2016.

[2]孫映柏.怎樣教好小學數學[M].天津教育出版社，2013.

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