掌握這7種函數構造方法,巧解高考導數難題

小數老師說

近幾年高考數學壓軸題，多以導數為工具來證明不等式或求參數的範圍，這類試題具有結構獨特、技巧性高、綜合性強等特點，而構造函數是解導數問題的最基本方法，但在平時的教學和考試中，發現很多學生不會合理構造函數，結果往往求解非常複雜甚至是無果而終．因此筆者認為解決此類問題的關鍵就是怎樣合理構造函數，本文以近幾年的高考題和模考題為例，對在處理導數問題時構造函數的方法進行歸類和總結，供大家參考．

一、作差構造法

1．直接作差構造

評註：本題採用直接作差法構造函數，通過特殊值縮小參數範圍後，再對參數進行分類討論來求解．

2．變形作差構造

二、分離參數構造法

分離參數是指對已知恆成立的不等式在能夠判斷出參數係數正負的情況下，根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量的不等式，只要研究變量不等式的最值就可以解決問題．

三、局部構造法

1．化和局部構造

2．化積局部構造

四、換元構造法

換元構造法在處理多變元函數問題中應用較多，就是用新元去代替該函數中的部分（或全部）變元．通過換元可以使變量化多元為少元，即達到減元的目的．換元構造法是求解多變元導數壓軸題的常用方法．

評註：本題的兩種解法通過將待解決的式子進行恰當的變形，將二元字母變出統一的一種結構，然後用輔助元將其代替，從而將兩個變元問題轉化一個變元問題，再以輔助元為自變量構造函數，利用導數來來求解。其中解法1、解法2還分別體現了化積局部構造法和變形作差構造法．

五、主元構造法

主元構造法，就是將多變元函數中的某一個變元看作主元（即自變量），將其它變元看作常數，來構造函數，然後用函數、方程、不等式的相關知識來解決問題的方法.

六、特徵構造法

1．根據條件特徵構造

2．根據結論特徵構造

七、放縮構造法

1．由基本不等式放縮構造

2．由已證不等式放縮構造

評註：本題第二問是一道典型且難度比較大的求參問題，這類題目很容易讓考生想到用分離參數的方法，但分離參數後利用高中所學知識無法解決，筆者研究發現不能解決的原因是分離參數後，出現了「0/0型」的式子，解決這類問題的有效方法就是高等數學中的洛必達法則；

若直接構造函數，裡面涉及到指數函數、三角函數及高次函數，處理起來難度很大．本題解法中兩次巧妙利用第一問的結論，通過分類討論和假設反正，使問題得到解決，本題也讓我們再次體會了化積局部構造法的獨特魅力．

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