前兩天國內的表姐在我們家的親戚群裡發了張女兒數學作業的照片，19+23，她算成了82，表姐檢查作業時說這道錯了，女兒一臉茫然，「是不是哦，我再驗算一下」。表姐有點不解，這不明擺著的嗎？19加23，十位的1和2加起來5都不到，怎麼會是80多呢？說是要重新算，但這個結果是對是錯應該一眼就能看出來啊。想想女兒平時做運算練習也不少，但好像對數字的感覺還是不到位，這讓表姐很鬱悶。
恰好最近我讀了不少有關孩子數學啟蒙的書籍，我很肯定的告訴表姐，這是因為我侄女的「數感」沒有培養起來，她可能掌握了運算規則，但對數字大小，數量多少缺乏感覺，所以不能對運算結果有個大概估算。
那究竟什麼是「數感」呢？
數感在英文裡叫number sense, 就是對數字的感覺，指的是一個人對數字的理解和運用能力，包括能否靈活處理數字、拆解問題，並從不同的角度看問題。比如桌子上有一個空盒，還有一堆糖，有些人看到會有意識地對兩者進行比較，考慮如果把這堆糖裝在盒子裡能不能裝下，能不能裝滿，這就是數感在起作用；再比如在計算18*5時，數感好的人並不是在腦海裡用豎式計算，而是能迅速把它換成更利於自己計算的20*5 – 2*5，或者9*10，再或者9*5 + 9*5等方式，並能在腦海裡對應出它的實際意義，就像下圖的幾個矩形圖示一樣：
我們再來聽聽一位大牛怎麼說數感的：
Jo Boaler是史丹福大學數學教育學教授，出版過好幾本關於數學教育的書，其中《教室裡的大象》被許多數學老師奉為經典，她開創和領導的數學教育網站Youcubed，為全世界教師和父母提供了很多數學啟蒙資源。
回憶起自己的成長經歷，Jo Boaler說在她小時候，學校沒有要求孩子們記憶多少以內的加減法得數，甚至也不要求乘法口訣，但這一點兒都沒有妨礙她後來在數學上的發展，還成為大學數學教授，她說，「看到8+4，我能一口給出答案，那是因為我有很好的數感。而這種感覺是通過在各種情況下使用、理解數字而得到的，而不是通過強化練習和考試才記住的。」
Jo Boaler的研究團隊發現，但凡後來在數學上表現優異的孩子，他們小時候的數感都培養得很好，而相反從小就訓練死記硬背答案或者運算規律的孩子，對數學學習會越來越吃力，基本上就是低年級數感不啟蒙，高年級數學看造化的節奏。
數感如此重要，該怎樣培養呢？
不僅Jo Boaler教授團隊持這樣的觀點，數感培養在整個西方的低幼教育中都很重視，比如大家熟悉的「蒙氏教育」，就是以其出色的數感培養而著名。每個教育派系、每個學校、甚至每位老師、家長，都會在有意無意中用到很多培養孩子數感的方法，總結起來最重要的主要是這4個維度：
理解「數」——
維度1：用具體的實物認識數字（Real things）
維度2：用圖形、圖畫理解數字（Picture）
運用「數」——
維度3：用故事說數字（Story）
維度4：用符號/表達式讓數字動起來（Symbols）
這4個維度的培養，是根據孩子的年齡增長循序漸進的。最早從0歲就可以開始，大多數孩子在0到3歲這個階段，很大程度依賴觸覺來認識這個世界，必須要摸到實物，能感覺它的大小，重量。這時就可以用具體的實物讓孩子來認識數，積木、小球、數字餅乾、手指腳趾......都可以。比如在蒙氏幼兒園的教室裡就有很多為培養數感而設計的教具，像下面這些串珠，有多的也有少的，孩子拿在手上能摸到它們的長度不同，也能感覺到輕重的差異。
對於一些理解力比較強的孩子，到了3歲左右甚至可以教他把實物和數字對應起來。當然，用遊戲的方式就更好了，擲篩子，擲到多少點，就在對應的數字上搭多少塊積木。
而到了3-6歲，視覺在孩子認識世界的過程中佔了上風，這時就可以用圖形、圖畫來幫助孩子理解數字了，比如用小圓點，用篩子圖，手指圖，方塊圖等等。如果孩子能理解，還可以和時鐘的認識結合在一起。到了5歲之後，甚至可以開始簡單的數字拆解，同時可以伴隨著用故事表達數字，把數字和生活結合在一起，6的含義可以是媽媽買了6個蘋果，孩子有6條裙子，魚缸裡有六條魚……等等。
在這些都理解了之後，就可以再上一個臺階，用符號/表達式讓數字動起來，就是我們經常看到的數學算式，比如「3+3=6」。雖然它看起來全是符號，很抽象，但它卻是我們用來交流的數學語言，是必須要學會的。而孩子需要練習的是，怎麼把它和其他的感觀聯繫在一起，這就引出我今天最想給大家分享的一個工具——
用一個「思考版「，搞定數感的4個維度
Think board (思考板) 是美國課堂常用的培養孩子數感的工具。它把一個矩形分成四個部分，分別對應我們上面介紹的4個維度：實物、故事、圖形、符號。老師會讓孩子用思考板來理解數字、運用數字。
來看看具體的應用，下面是用思考板來分析「16」這個數字，其中的story（故事）這部分就是為這個數字編一個應用題，這位孩子是這麼編的，「寵物店裡有27條魚，這時來了11位小朋友，帶走了11條，問寵物店裡還剩幾條？答案是16。」
這個編故事的能力非常重要，Jo Boaler教授強調，老師給學生出數學題要具有開放性，給學生思考的空間，「在我眼中，那些形成固化思維的封閉性問題就是只要求正確答案的題目。長此以往，孩子就會覺得上數學課是一種表演，就是答對問題。而我們真正想要的是那些能讓孩子學到東西的題目。」 比如27-11=？是個封閉性問題，但用什麼樣的故事能表達16，就是個開放性的問題了，它的答案可以是無窮多種。
這是用思考板來表示乘法運算式，其中的符號部分改成「Show Strategies Used「（用了什麼運算策略），就是鼓勵孩子從不同的角度去拆解數字。
即使學到了分數，思考板還是大有用場哦。
思考板所包含的幾個維度並不新鮮，但它的好處是，提醒孩子從這幾個方面去考慮數字以及運算式，它是個整體，不會拉下哪個；同時也能清楚地看到它們之間的聯繫，這就對應著數感培養最重要的目的——「能靈活處理數字、拆解問題，並從不同的角度看問題」。
挺好用的一個工具，特別推薦給家有正在數學啟蒙的孩子們。數學要學很多年，它的應用更是伴隨著我們一生，一開始走慢些，穩些，理解深刻些，找到感覺，很重要。
學數學要有感覺，首先對數字就要有感