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二元二次方程條件下的二元最值問題是高中數學的熱點和難點問題，解法因題而異，往往一題多法。這類問題的解法文章較多，但大多就題論法。若能以題型為中心，不同的題型選擇與之相匹配的解法，這樣的題型歸類的解法研究文章才具有很好的解題指導性。下面由北京文都中小學教研院給出二元二次方程條件下的二元最值問題的五種類型及相應的通性通法，希望對廣大師生有所幫助。
一、 (ax＋by)(cx＋dy)=m最值問題
【舉例】
【解析】
一般地，若實數x、y滿足(ax＋by)(cx＋dy) = m，其中a、b、c、d、m均為非零常數，要求關於實數x、y的二元二次式最值。
第一步：設ax＋by = t，cx＋dy = m/t，反解出x、y。
第二步：將x、y代入求得關於t的一元函數。
第三步：求這關於t的一元函數的最值。
上述方法同樣適合求滿足(ax＋by)(cx＋dy) = m的二元二次最值問題。
二、(ax+b)(cy+d)=m最值問題
【舉例】
【解析】
本題可通過已知方程左邊的因式進行局部換元，將二元最值問題轉化為一元函數的最值問題來解。
一般地，若實數x、y滿足(ax＋b)(cy＋d)=m，其中a、b、c、d、m均為非零常數，要求關於實數x、y的二元二次式最值。
第一步：設ax＋b = t，cy＋d = m/t，反解出x、y。
第二步：將x、y代入求得關於t的一元函數。
第三步：求這關於t的一元函數的最值。
上述方法同樣適合求滿足(ax＋b)(cx＋d)=m 的一元二次最值問題。
三、橢圓型方程下的二元最值問題
【舉例】
【解析】
橢圓型方程下的二元最值問題，通常用類似於橢圓的參數方程的方法進行三角換元，將問題轉化為以角為變量的一元函數的最值問題求解。
本解法先對已知等式的變形和首次換元得出(2x－z)2+(2z＋1)2=9，這是接下來進行三角換元的關鍵。
四、二次方程條件下的一次最值問題
【舉例】
【解析】
已知條件是關於x、y的二元二次方程，所求的是x、y的二元一次式的最值，通法是將所求一次式整體代換設為t，然後用消元法代入已知方程整理得關於另一個未知數的一元二次方程，最後用判別式法求出t的取值範圍，驗證等號成立求出最值。判別式法也適合已知三元二次方程求一次最值的問題。
五、求x2＋y2的最值問題
【舉例】
【解析】
上述解法從所求式子入手，注意到所求式子是平方和的形式，先整體換元設x2＋y2＝r2，再用圓的參數方程進行三角換元，然後用正弦函數的有界性求r2的最小值。