高考中的三次方程解法

2021-02-08 偏微分高手

這是一篇重寫的舊文


也不知道算不算標題黨, 因為這個方法其實並不能解所有的三次方程, 只能解一類特殊的三次方程. 但是在我做過的高考題當中, 只遇到一題出現過不能用這個方法解的三次方程.


在初中, 大家都學過了二次方程的解法. 二次方程有求根公式:

三次方程也有求根公式, 但是高中並不要求掌握, 因為公式太複雜了. 為了避免產生恐慌的情緒, 我不在這裡展示求根公式了. 我稍後會寫一篇本文的花絮, 那裡會提到求根公式. 有獵奇心理或喜歡看故事的人可以期待一下. 


但是我這裡介紹的方法一點都不複雜, 甚至有點簡單.


這個方法的適用範圍是:

1. 係數是整數;

2. 至少有一個根是有理數. 如果按這個方法解不出來, 說明它沒有有理數根.


這兩個條件看似苛刻, 但對於高考基本夠用了. 下面通過例子來介紹解法:


例 解方程: 

.



有沒有一種被坑的感覺: 我要是觀察得出來還用你教? 其實我想強調的是觀察的技巧, 而這個技巧是整個解法中至為關鍵的一步.


這個技巧就是:

1. 把三次項係數的(正)約數找出來，這個方程三次項係數是1，約數m=1;

2. 把常數項的約數找出來，這個方程的常數項是6，所以約數n=1,2,3或6;

3. 這個方程的根可能是這樣的形式:

取m的各種可能，n的各種可能，±號的兩種可能，那麼這個方程的根可能是±1, ±2, ±3, ±6. 然後就是一個個去試. 注意: 從簡單的開始!

先試x=1, 方程左邊=4, 不成立.

再試x=-1, 方程左邊=0, bingo!


觀察出一個根後, 不用再試下去了, 進入第二步:



如果觀察到一個根a，那麼方程左邊一定能分解出因式(x-a). 在這個例子中, 左邊可以分解出一個因式(x+1). 知道這個以後, 你當然可以一點點去湊出來, 不過我這裡有個更好的方法, 可以直接就寫出來.


假設左邊能夠這樣分解:

能夠產生三次項的也就紅色那兩項, 對比一下左右兩邊的係數, 可以知道上面的紅色空格應該填1, 變成

能夠產生常數項的也就紅色那兩項, 對比一下左右兩邊常數項, 可以知道上面的紅色空格應該填6, 變成

剩下一個空格, 可以選擇二次項或一次項來做都行, 我這裡用二次項來舉例. 能夠產生二次項的是

在已知的項當中已經有一個, 由於左邊的二次項是, 所以還要. 所以那個空應該填-5. 於是, 最終分解的結果是


整個過程在紙上體現出來是這樣子的:


分解完後, 最後一步就簡單了:



剩下的兩個根不用猜, 就是解一個二次方程. 所以, 即使剩下的兩個根即使不是有理數, 同樣也能求得出來. 通過上面因式分解的結果, 因式表明方程有一個根是, 就是我們觀察出來的那個根, 因式表明方程有兩個根是2和3. 於是, 我們圓滿地解出方程的三個根: .


●解方程: 

..

答案寫在留言上.



喜歡獵奇或看故事的同學可以期待一下花絮.

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