國學中的數學思維淺談

2020-12-13 大叔讀書

現在所謂國學,包括中國古代的思想、哲學、科學、技術、歷史、地理、政治、經濟及書畫、音樂、術數、醫學、星相、建築等諸多方面。「國學」之名,始之清末。其時歐美學術進入中國,號為「新學」、「西學」等,與之相對,人們便把中國固有的學問統稱為「舊學」、「中學」或「國學」等。 

國學也可以指中國古代學說。其中的代表是先秦諸子,先秦諸子的思想及學說對中國的傳統文化具有深遠的影響。它們形成了兵家思想、法家思想、墨家思想、儒家思想及道家思想等。這些思想從各個不同的方面論述如何治理國家。對歷朝歷代的統治者都有很深遠的影響,慢慢形成了中國的傳統文化觀念。其實國學中也有很多的數學思維。

後發制人,出自《孫子軍爭》:「後之發,先之至,此用兵之要術也」,意為等對方先動手,再抓住有利時機反擊,制服對方。蘊涵極限定義思想方法。在函數極限的 εδ 定義中,對任意 ε>0,總存在 δ>0,使得當 0﹤∣xx0∣﹤δ時,都有∣fx)-A∣﹤ε,則稱 fx)在 x 趨向於 x0 時的極限為 A。這裡 δ 後制 ε。同樣在數列極限的 ε-N 定義中, N 後制 ε

愚公移山,這個故事記載在戰國.列子《列子.湯問篇》中。故事的主人公愚公曰:「子子孫孫無窮匱也」,意為子子孫孫無窮無盡。蘊涵數學歸納法中的遞推思想(由命題對 k 成立推出命題對 k+1 成立)。

欲擒故縱,兵法《三十六計》第十六計,意為故意先放對方一馬,使敵人放鬆戒備,充分暴露,然後再將其捉住。其中蘊涵反證法思想:先假設命題結論不成立,即命題結論的否定成立(故縱),再經過推理論證得出矛盾,從而證明結論成立(欲擒)。

田忌賽馬,記載在西漢.司馬遷《史記?卷六十五.孫子吳起列傳第五》中。齊國大將田忌和齊威王賽馬。他們把馬分成上、中、下三等,上等馬對上等馬,以此類推。田忌每個等次的馬都比齊威王的慢,因此三個回合下來,田忌皆敗。一旁觀戰的朋友孫臏給他支著兒,於是新一輪賽馬開始了,田忌先用下等馬對齊威王的上等馬,再用上等馬對齊威王的中等馬,又用自己的中等馬對齊威王的下等馬。田忌以兩勝一敗的成績贏了齊威王。同樣的馬匹,只是調換了比賽的出場順序,就得到反敗為勝的結果。這裡蘊涵運籌學中的最優化思想。

曹衝稱象,出自晉.陳壽《三國志.魏書.武文世王公傳》。有一次,孫權送來了一頭巨象,太祖(曹操)想知道這象的重量,詢問屬下,都不能說出稱象的辦法。曹操的小兒子曹衝說:「把象放到大船上,在水面所達到的地方做上記號,再讓船裝載石頭,當水面達到該記號的時候稱量這些石頭的總重量,大象的重量就等於石頭的總重量。」曹衝把大象的重量轉化為石頭的重量,使問題得到解決。此典故蘊涵轉化與化歸思想。《呂氏春秋.察今》曰:「故審堂下之陰,而知日月之行,陰陽之變。」意思是說,觀察堂屋影子的變化就能知道日月運行的情況,反映了象與原象的變化關係。蘊涵映射與函數思想。

巧悖數學思想,成就千古名篇

佛教把眾生世界分為「三界」,孫悟空乃三界之外靈物,

吳承恩巧妙違背數學分類思想的不重不漏原則,成功地塑造了我國古代四大名著之一《西遊記》中的孫悟空人物形象。

刻舟求劍,出自戰國.呂不韋《呂氏春秋.察今》。楚國有個人乘船渡江,劍從船上掉進了水裡。他急忙在船沿刻上記號,說:「這兒是我的劍掉下去的地方。」船靠岸後,這個人順著船沿上刻的記號下水去找劍。船已經走(行駛)了很遠,而劍還在原來的地方不會隨船而前進。用這樣的辦法來找劍,不是很糊塗嗎?我們從現代數學映射觀點來看,原象只有船沿上刻的記號一個,船行駛以後出現了無數個象(記號對應的水下位置),這個楚國人違背了函數與映射思想,誤解了象與原象(事物自身)的對應關係。

擒賊先擒王,出自唐.杜甫《前出塞》詩之六:「射人先射馬,擒賊先擒王」,指作戰要先抓主要敵手,也比喻做事要抓關鍵。指作戰要先抓主要敵手,比喻做事要抓關鍵。在恆成立問題中,常利用最值(最大值或最小值)解決問題。

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    問題中發掘數學思維、成長中發展數學頭腦解題分析:本題用兩種方法證明:一種是等腰三角形「三線合一」性質、角平分線性質;另一種是利用全等三角形。而利用性質證明,則需要結合圖形語言將文字語言轉化為符號語言,發展學生的數學三大語言的轉化能力。同時使用一題多解發展學生的發散思維。