經常閱讀我文章的朋友可以看出,我的文章有時還算有點質量(自我感覺良好^_^),但更多的時候比較「水」,畢竟是平時自己寫著玩。下面還是閒話休提,只說正話。
先看一道比較經典的題目:有一個任意四邊形 ,順次連接其中點,得到的新四邊形是什麼圖形?答案是平行四邊形,證明過程不難,但是妙在這個問題對三種不同的四邊形——凸四邊形、凹四邊形、空間四邊形——都適用:
下面我們看一下箏形,也就是兩對鄰邊分別相等(圖中是 和 )的四邊形,連接其對角線 和 ,可以發現是垂直的,而且進一步研究還可以看出,這個結論也是對凸箏形、凹箏形和空間箏形都適用:
其中空間箏形的證明如下:
設 的中點是 ,連接 和 ,因為 ,,可知 、 都和 垂直,所以 垂直於三角形 所在的平面,自然也垂直於 ,得證。
不但如此,結合前面所說四邊形中點連續是平行四邊形,立刻可以得出:順次連接箏形四邊中點,得到的四邊形是矩形。
繼續看上面的圖,進一步還可以發現,如果我們把 點向 點移動,當這兩點重合時,這時箏形就變成了等腰三角形,而對角線 就變成了等腰三角形的底邊,這時因為 是 的中點,所以肯定有 和 垂直。也就是說,本文的結論和「等腰三角形三線合一」是統一的。我能想到這一點,是因為我看上面的圖時得到的啟發:點 和點 既能在對角線交點的兩側,也能在對角線交點的同側,那為什麼其中一點不能和對角線交點重合呢?
以上自然沒有什麼「學術價值」,我只不過想通過這個簡單的例子,讓大家保持對數學的興趣,希望大家勤於觀察、研究而已,而且我還提到了聯繫已有知識和連續變形,可能對大家研究其它問題也有點借鑑意義。