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下面是本期平面幾何題目（1990年全國高中數學冬令營選拔賽試題第3題）：
在「箏形」四邊形ABCD 中，AB=AD，BC=CD，過AC,BD 的交點O 任作兩條直線，分別交AD 於E，交BC 於F，交AB 於G，交CD 於H，GF、EH 分別交BD 於I、J，求證：IO=OJ.
一．本題收到了山東煙臺姜忠乾的三角法解答（引用了張角定理，亦稱分角定理）：
評註：在後面我們可以看到，本題實質無需∠AOB和∠BOC為直角．見下：
二．以下摘自《箏形性質的推廣與蝴蝶定理的關聯》（作者：李長明），先得到了如下的分角線公式：
三．下面的解答用的是軸對稱變換，簡稱反射變換：
下面用反射變換並結合ceva（塞瓦）定理解決如下「箏形」蝴蝶定理：
四．本題收到了湖北武漢暱稱為「黃藥師」的解析法解答如下（由於題目出現了直角，建立坐標系顯然是一條思路）：
評註：這種截距式方程的解答與上期（10月17日）文章的截距式方法有相似之處，詳見文末．這是因為列出截距式方程是容易的（設了倒數），強行解出交點是可行的，再比較點I和J的坐標是否為相反數即可．
五．事實上，當年《中等數學》雜誌1990年第2期提供的解答也是建立坐標系（似乎是一個中學生提供的解答）：
評註：只要不怕麻煩，解析法總是能夠得到結果（問題是你能否堅持下去？特別是在考場裡的時候），所以，解析法很考驗一個人的非智力因素．
六．再提供一種解析法解答（用了直線系）：
七．以下是小編的解答：
延長GF、EH分別交y軸於S、T兩點，設I、J的橫坐標分別為m，n，則只需證明：m=-n．
以小寫字母表示相應點在坐標軸上的坐標，因為OB=OD，則b=-d，易知：
直線AB方程：x/b+y/a=1……①
直線AD方程：x/d+y/a=1……②
直線BC方程：x/b+y/c=1……③
直線CD方程：x/d+y/c=1……④
直線GF方程：x/m+y/s=1……⑤
直線EH方程：x/n+y/t=1……⑥
⑤—①得，
(1/m-1/b)x+(1/s-1/a)y=0，
顯然此為直線OG的方程；
由於，b=-d，得到直線OG的方程為：
(1/m+1/d)x+(1/s-1/d)y=0……⑦
同理，⑥—④得，
(1/n-1/d)x+(1/t-1/c)y=0……⑧
顯然⑧為直線OH的方程；
故⑦⑧均為直線GH的方程．於是：
(1/m+1/d)/(1/n-1/d)=(1/s-1/a)/(1/t-1/c)
…………⑨
如法炮製可得OE的方程：
(1/n-1/d)x+(1/t-1/a)y=0
OF的方程(以下注意將b換為-d)：
(1/m-1/b)x+(1/s-1/c)y=0
他們同時為EF的方程，所以：
(1/m+1/d)/(1/n-1/d)=(1/s-1/c)/(1/t-1/a)
…………⑩
由⑨⑩得：
(1/m+1/d)/(1/n-1/d)
=(1/s-1/a)/(1/t-1/c)
=(1/s-1/c)/(1/t-1/a)
利用分數的等比定理得：
(1/m+1/d)/(1/n-1/d)
=(1/s-1/a)/(1/t-1/c)
=(1/s-1/c)/(1/t-1/a)
=(1/c-1/a)/(1/a-1/c)=-1
於是，m=-n，證畢！
評註1：上面解答妙用截距式和直線系方程，根本不用解交點坐標．亦可將倒數記為新字母，那麼書寫將會更方便，從這點來看，武漢暱稱為「黃藥師」的解析法給出了範例．
評註2：以下兩道全國高中數學聯賽試題也可以用解析法做，特別是用截距式和直線系的原理，設而不求（無需求交點的坐標，這個小編已經試過了，打字輸入麻煩，就不貼出來了），請讀者試一試（你的解答也可以發到小編郵箱1933725911@qq.com）：
題目1 在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD。在CD上取一點E，BE與AC相交於F，延長DF交BC於G。求證：∠GAC=∠EAC。
（1999，全國高中數學聯賽）
題目2 在銳角△ABC的高AD上任取一點P，BP、CP分別交AC、AB於點E、F。求證：∠FDA=∠ADE。
題目3 △ABC中，三條高AD、BE、CF交於點H，直線ED和AB交於點M，FD和AC交於點N。求證：
（1）OB⊥DF，OC⊥DE；
（2）OH⊥MN。
（2001，全國高中數學聯賽）
衷心感謝以上平面幾何愛好者們提供的精彩解答！
八．有關研究文獻：
1．《四邊形中的蝴蝶定理和坎迪定理》摘錄，作者：李裕民
註：河南許昌丁位卿老師和四川邛崍市賴虎強老師合作的word文章《張角定理與兩線段的倒數和（差）問題》裡也提到了這種推廣，並給出了證明．篇幅所限，該文再次延期到下期發表，敬請關注！
2．《蝴蝶定理的推廣和演變》摘錄，作者：李裕民
九．下面是1990年全國高中數學冬令營選拔賽試題：
第三題在前面有了解答，下面是第四題，第五題的解答：
閱讀本文後，還可以點擊再閱讀如下文章：
莊暴見孟子，曰：「暴見於王，王語暴以好樂，暴未有以對也。」曰：「好樂何如？」
孟子曰：「王之好樂甚，則齊國其庶幾乎！」
他日，見於王曰：「王嘗語莊子以好樂，有諸？」
王變乎色，曰：「寡人非能好先王之樂也，直好世俗之樂耳。」
曰：「王之好樂甚，則齊其庶幾乎！今之樂猶古之樂也。」
曰：「可得聞與？」
曰：「獨樂樂，與人樂樂，孰樂？」
曰：「不若與人。」
曰：「與少樂樂，與眾樂樂，孰樂？」
曰：「不若與眾。」
「臣請為王言樂。今王鼓樂於此，百姓聞王鐘鼓之聲、管籥之音，舉疾首蹩頞而相告曰：『吾王之好鼓樂，夫何使我至於此極也，父子不相見，兄弟妻子離散。』今王畋獵於此，百姓聞王車馬之音，見羽旄之美，舉疾首蹩頞而相告曰：『吾王之好田獵，夫何使我至於此極也？父子不相見，兄弟妻子離散。』此無他，不與民同樂也。
「今王鼓樂於此，百姓聞王鐘鼓之聲、管籥之音，舉欣欣然有喜色而相告曰：『吾王庶幾無疾病與，何以能鼓樂也？』今王田獵於此，百姓聞王車馬之音，見羽旄之美，舉欣欣然有喜色而相告曰：『吾王庶幾無疾病與，何以能田獵也？』此無他，與民同樂也。今王與百姓同樂，則王矣！」
近期題目預告（多重絕對值）：
關於多重絕對值，著名不等式專家安正平老師在其新浪博客裡提出了如下幾個問題（有幾個問題沒有解答）：
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