關於立體幾何的三視圖還原幾何體的一些訣竅

2021-12-25 許興華數學

 （許興華數學）

在高一同學學習立體幾何「三視圖」時，大家都會覺得這個內容非常難學。

今天我們給大家來一個「點石成金」：三視圖問題的常見類型及解題策略應該是什麼呢？

(1)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結合空間想像將三視圖還原為實物圖．

(2)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實線，不能看到的部分用虛線表示．

(3)由幾何體的部分視圖畫出剩餘的部分視圖．先根據已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然後再找其剩下部分三視圖的可能形式．當然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．

（4）有很多「三視圖」的問題，可以看成由長方體（或正方體）切割而截成的，大家可以由長方體或正方體圖形來思考用什麼線段或截面截成的（這種思維方法給我們明確提供了一個解題的思考方向！）

下面，在本文中我們將通過豐富的例子讓同學們切實掌握解這類題的方法與訣竅！

【例1】．[2016·天津卷]將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個稜錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖為(    )


【解題訣竅】從三視圖的知識來看，原幾何體應當是由直四稜柱截成的幾何體，用圖1中的左圖嘗試知，則該幾何體的側視圖為B.

解析：由正視圖、俯視圖得原幾何體的形狀如圖所示，則該幾何體的側視圖為B.

  

【例2】．[2014·新課標全國卷Ⅰ]如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條稜中，最長的稜的長度為(  )

【解題訣竅】從三視圖的知識來看，原幾何體應當是由正方體截成的幾何體，用圖2中的左圖嘗試知，則該幾何體的原圖形應為圖2的右邊圖形的三稜錐.

【例3】如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積是多少？

【解題訣竅】從三視圖的知識來看，原幾何體應當是由正方體截成的幾何體，用圖3中的右圖嘗試知，則該幾何體的原圖形應為圖3的右邊圖形的三稜錐A-BCD（求解過程略）.

下面，我們來列舉一些考試中經常用到的「三視圖」的典型例子（以圖形的形式給出），大家認真思考，融會貫通以後一定能在立體幾何的學習之中舉一反三、觸類旁通！


相信您一定掌握這一招了吧？

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【注】本文參考並運用了《高中數學解題研究會》中的劉彥永老師的圖片內容。在此，特別對劉老師表示衷心的感謝！


【關於「許興華數學」】

 本公眾號是南寧三中許興華老師的微信公眾號（許興華老師是中學高級教師，南寧市學科帶頭人），曾榮獲得2016年數學文化雜誌社主辦的攜手北京大學數學文化節「全國最紅數學公眾號」評選全國一等獎的第一名（詳見上面的榮譽證書）。

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