利用平行線構造相似三角形，用這道題來訓練效果最好
在學習相似三角形的判定時，除了定義之外，我們第一個學習的就是利用平行線構造相似三角形，也因此，我曾經在課堂上調侃這種方法為「有平行必有相似」，在隨後的多次練習中，利用平行線也的確解決了不少構造相似的問題。尤其是下面這道題，我認為對學生觀察圖形的訓練應該是比較全面了。
題目
已知：△ABC中，D為BC邊上中點，E為AC邊上一點，且AE:AC=1:3，連接AD和BE，相交於點F，求AF:FD的值.
解析：怎麼想到去用相似？這個問題的實質就是相似三角形運用的必要性，由於題目中給出的條件是線段之間的比例關係，而最後結果中求的也是線段之間的比例關係，所以需要成比例線段，而成比例線段在相似三角形中是非常容易得到的，故此需要構造相似三角形。根據「有平行必有相似」，我們選擇作平行線，但具體在哪裡作？構造出什麼樣的相似三角形，方法非常多。
第一種方法，從點D和點E的位置，前者是中點，後者是三等分點，於是想到把AC上剩下的那個三等分找到，過點D作DG∥BE，交AC於點G，得到雙A型相似，如下圖：
構造出的第一對相似三角形是△CDG∽△CBE，當然，利用DG是中位線同樣可行，第二對相似三角形是△AEF∽△ACD，它們的相似比都是1:2，於是很順利地找到AF:FD=1；
第二種方法，依然過點D作平行線，但朝另一個方向，即作DH∥AC，交BE於點H，如下圖：
既然經過點D作平行線，那第一對相似三角形△BDH∽△BCE，相似比依然是1:2，中位線同樣可行，可以得到DH=AE，此時第二對已經不是相似三角形了，而變成了全等，△AEF≌△DHF，結果AF:FD=1；
第三種方法，過點C作BE的平行線，使用這種方法的同學想必對中線倍長印象頗深，因為它們作出來效果的確很類似，過點C作CI∥BE，交AD延長線於點I，如下圖：
這種方法在計算上稍多，同樣構造出了第一對相似三角形，△AEF∽△ACI，相似比為1:3，而第二對，△BDF≌△CDI，於是FD=ID，再結合前面的AF:AI=1:3，可得結果AF:FD=1；
第四種方法，過點C作AD的平行線，和上一種方法類似，交BE的延長線於點J，如下圖：
我們同樣發現，構造出的第一對相似三角形，△BDF∽△BCJ，相似比為1:2，而第二對相似三角形，△AEF∽△CEJ，相似比同樣為1:2，碰巧的是在兩對相似三角形的對應邊當中，AF與FD都對應CJ，於是AF:FD=1；
第五種方法，至此，過點C和D基本能作的平行都作了，是否能換成其它點？比如A？答案是可以，過點A作BC的平行線，交BE延長長於點K，得到雙X型相似，如下圖：
這一次，構造出的兩對相似三角形均為X型，並且第二對相似三角形實質上是全等，即△AEK∽△CEB，相似比為1:2，從而AK=BD，於是△AFK≌△DFB，得到AF:FD=1；
第六種方法，過點B構造平行線呢？也可行，過B點作AD的平行線，交AD延長線於點M，同樣得到雙X型相似，如下圖：
第一對相似三角形其實又是全等，△BDM≌△CDA，而第二對相似三角形，△AEF∽△MBF，相似比為1:3，若設AF=x，則AM=4x，而AD=MD=2x，得到FD=x，於是AF:FD=1。
解題反思
無論哪種構造平行線的方法，總要去嘗試才能發現，在課堂上，先後有四位同學想出了不同的構造方法，對於他們來講，這節課的收穫是非常大的。只要認真去想了，也認真去做了，哪怕沒有第一時間想出來，課堂上肯定有所得。特別地，每種方法中，為什麼要這樣構造平行線，是最值得集中注意力的時間段。而做完這道題之後，把所有這些作法都回顧一遍，歸納一下它們的共同點和不同點，就是很好的方法儲備，我相信，再複雜的構造相似三角形，其根本出發點與本題是一樣的。