九年級暑假預習，巧做平行線構造相似三角形，掌握解題技巧

在解題時，有些題目中可能不存在相似三角形，但是卻往往需要利用相似三角形來解決問題，此時需要我們構造相似三角形。構造相似三角形最常用的添加輔助線的方法為構造平行線，添加輔助線構造相似三角形是幾何證明中的一種重要方法，掌握解題技巧是解題的關鍵。

類型一：巧連線段的中點構造相似三角形

例題1：如圖，在△ABC中，E，F是邊BC上的兩個三等分點，D是AC的中點，BD分別交AE，AF於點P，Q，求BP∶PQ∶QD.

方法一：點D為線段AC中點，點F為線段EC的中點，連接DF，則DF為△ACE的中位線。同時，也構造出了一個「A」型圖和一個「X」型圖，通過兩次相似即可得到結論。

方法二：過D作DG∥BC，交AE於G，AH於H，根據三角形中位線定理得到CF=2DH，得到QB=4DQ，BP=PD，得到BP、PQ與DQ的關係，求比即可．

有中點時，可以通過構造中位線得到線段之間的位置關係：平行線和數量關係：中位線等於第三邊的一半，通過平行線可以得到相似三角形。

類型二：過頂點作平行線構造相似三角形

例題2：如圖，在△ABC中，AC＝BC，F為底邊AB上一點，BF∶AF＝3∶2，取CF的中點D，連接AD並延長交BC於點E，求BE：EC的值．

分析：可過點C作AB的平行線，與AE的延長線交於同一點，構造兩個「X」型圖，通過相似三角形得到結論。

可過三角形的某一頂點作其中一邊的平行線構造相似三角形。

類型三：過一邊上的點作平行線構造相似三角形

例題3：如圖，在△ABC中，AB＞AC，在邊AB上取一點D，在AC上取一點E，使AD＝AE，直線DE和BC的延長線交於點P.求證：BP：CP=BD：CE．

方法一：可過線段BP上的點C作線段AB的平行線，構造一個「A」型圖與一個「X」型圖，通過證明三角形相似與等量代換得到結論。

本題也可以過三角形的一個頂點作平行線構造相似三角形。

方法二：過點B作BF∥AC交PD延長線於點F．則△PCE∽△PBF，所以該相似三角形的對應邊成比例，即BFCE=BPCP．根據平行線的性質，等腰三角形的性質以及對頂角的定義得BF=BD．則BFCE=BDCE，故BP：CP=BD：CE．

因此，我們可以過三角形的某個頂點，三角形某條邊上的某個點，或者通過中位線等構造相似三角形。