八年級數學,幾何知識中的直接三角形和等腰三角形

2020-12-13 一題解中高考

知識·規律·方法

等腰三角形的性質：底和角相等；頂角平分線、底上的中線、底邊上的高重合；是以頂角平分線所在的直線為對稱軸的軸對稱圖形。

等邊三角形具有等腰三角形的性質，且每個角等於60度，每條邊相等。

直角三角形的性質：兩個銳角互餘，斜邊大於兩個直角邊；兩條直角邊的平方之和等於斜邊的平方；斜邊的中線等於斜邊的一半；如果有一個銳角等於30°，那麼它所對應的直角邊等於斜邊的一半。

本節內容只涉及到了最基本的練習，主要是三個基本類型：

構造全等三角形+等腰三角形；

構造全等三角形+直角三角形；

構造全等三角形+兩邊之和大於第三邊。

我麼知道等腰三角形底邊上的任一點與頂點的連線，把等腰三角形分成兩個三角形.這兩個三角形具有兩個特徵：一是有一組角相等，二是有一組角互補.在證題時，當我們經常遇到具有上述兩個特徵的題目時，可以考慮用補形法，把其中某一個三角形補成等腰三角形、結合題目條件，運用全等三角形或相似三角形的知識，將問題加以解決。

如圖，

OM為∠XOY的平分線，直線 BC垂直於OM，交OM於 A，B，C分別在角的兩邊上，則 △OBC為等腰三角形，有OB=OC 及 BA=AC，這種情形下三個元素組合關係為：

角平分線+垂線→等腰三角形

如題目中出現或作輔助線後能構造出這種模式，即可利用等腰三角形的性質解題。

下面我們看例題分析

範例解析與拓展訓練

例題1:（2011北大附中自主招生數學考試題）

重點難點：等腰三角形除了具有一般三角形的性質之外，還具有兩底角相等、三線合一等性質，這些性質在平面幾何的證明題中有著廣泛的應用，在解答非等腰三角形的問題時，若能通過作輔助線構造出等腰三角形，將會給解題帶來方便。

例題2：（上海市2001年數學中考試題）

在等腰△ABC的腰AB上取一點D，在另一腰AC的延長線上去一點E，使得BD=CE，連接DE交BC於F（如圖），求證FD=FE。

重點難點：在△FBD和△FCE中，有∠B+∠ECF=∠ACB+∠ECF=180°，

∠DFB=∠CFE，於是，可將△CEF補成等腰△EFG，FG為底邊，從而構造出△BDF≌△CEG，問題得以解決。

例題3:2002年南寧市中考試題

如圖，在△ABC中，∠B=22.5°，邊AB的垂直平分線交BC於D，DF⊥AC於F，並與BC邊上的高AE交於G，求證：EG=EC。

重點難點：連接AD，則AD，BD相等，即三角形ABD的腰，進而利用等腰三角形的兩底角相等的性質來解決問題

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