正則動量面面觀

本文發表在《物理與工程》2017年第5期。作者為清華大學物理系徐湛教授。

提起粒子的動量p這個概念，人們的第一反應通常就是p=mv，但這並不總是對的。對於帶電粒子在磁場中運動的情形，動量的概念要複雜得多。在系統中添加磁場是基礎物理和應用物理中經常使用的手段，甚至可以說現代物理的大部分熱門和前沿課題都離不開磁場，而磁場的出現使動量的概念變得非常微妙。有鑑於此，本文試圖對這個問題進行比較深入的討論。

1  經典力學： 帶電粒子在磁場中的3種動量

對於帶電粒子在磁場中的運動，首先想到的當然是它的運動方程。假設粒子的質量是m，電荷是q，空間中的穩恆磁場是B (r )，那麼熟知它的運動方程是

(1)

其中稱為洛倫茲力。但是問題並不止於此。由於運用分析力學的方法可以更深刻地認識系統的守恆量，尤其是以後還要發展到量子力學，所以我們再問：從最小作用量原理[1]出發，什麼樣的拉格朗日量的歐拉方程恰好就是上面的方程？這個問題的答案是

(2)

其中A(r )是磁場B(r )的矢量勢[2]，它的旋度給出了磁場

(3)

通常還假設它滿足規範條件（橫場條件）

(4)

證明如下。現在歐拉方程是

其中i , j =1,2,3(=x,y,z)並且對j 求和。在此式中取i =1，那麼

對於i =2,3也類似，這表明歐拉方程是

再注意到式(3)，它正是方程(1)。現在問題來了：這時的正則動量p是什麼？按照分析力學的正則動量的定義[1]，它是

(5)

即是在mv 之外多了一項qA。通常稱mv 為機械動量，qA為電磁動量，而正則動量p是二者之和。顯然，產生這個區別的根源在於洛倫茲力與粒子的速度有關。

再過渡到分析力學的哈密頓形式（亦稱正則形式），系統的哈密頓量是拉格朗日量的勒讓德變換，即

(6)

注意： 哈密頓量要以正則坐標和正則動量為獨立自變量。用這個哈密頓量寫出的正則運動方程

就分別是式(5)和式(1)。在這裡特別要強調：無論是拉格朗日量還是哈密頓量，用來表徵磁場的都是矢量勢A而不是磁場強度B。此外，注意到，所以哈密頓量（其物理意義是系統的能量）在數值上其實就是，即粒子的動能。由於洛倫茲力永遠和速度垂直因而永遠不做功，所以這個結果是不難理解的。

從正則運動方程很容易看出系統的對稱性與守恆量之間的關係：如果哈密頓量和某個正則坐標qi無關（這樣的坐標被稱為循環坐標），那麼與qi共軛的正則動量pi就是守恆量，因為

這裡必須避免兩個誤解。第一個是把系統的對稱性認為是磁場的對稱性（比如磁場在平移、旋轉等等操作下不變），但事實上哈密頓量裡出現的不是磁場而是矢量勢，所以系統的對稱性指的是矢量勢的對稱性，不是磁場的對稱性。第二個是把守恆量當成機械動量，但事實上守恆的是正則動量，它在機械動量之外還要再加上電磁動量。實踐表明，這兩個誤解經常出現，有時候連學過高等物理的人也難以避免。

最後一個問題是規範變換不變性。熟知若矢量勢A受到規範變換

(7)

其中α是任意函數，那麼磁場B並不改變：

(8)

所以運動方程也不改變。從拉格朗日量的角度說，在A的規範變換下它增加了一項對時間的全導數項，與原來的拉格朗日量雖然不相等但卻是等價的，而從哈密頓量的角度說，它在A的規範變換下完全不變。這就是理論的規範變換不變性。但是必須注意，這時正則動量是要變的，因為它的變換是

(9)

也就是說正則動量並不是規範不變量，所以它不是可觀察量。這使我們處在一個微妙的境地：當粒子在磁場中運動時，機械動量是我們實際觀察的，而正則動量雖然是基本的動力學變量卻不是可觀察的。這是理解正則動量概念的困難所在。

2  帶電粒子在勻強磁場中的平面運動

現在考慮一個最簡單的例子。設沿著+z軸方向有一個勻強磁場

(10)

而帶電粒子被限制在xy 平面內運動。熟知這時粒子的運動是勻速圓周運動（同步迴旋運動）。假設圓的半徑是R，粒子運動的角速度（圓頻率）是ωc，那麼運動方程就是

所以

(11)

也就是說，ωc只取決於粒子的荷質比|q|/m和磁場強度B，這個頻率稱為同步迴旋頻率。當然，粒子運動軌道的半徑R、圓心位置C和運動速度v是由初始條件決定的。至於粒子在軌道上的轉動方向，用矢量叉積的右手螺旋法則不難定出：從xy平面的上方向下看，q>0時粒子順時針旋轉，q<0時逆時針旋轉。

為了更深入地理解這個運動，讓我們看看粒子的3種動量。首先要為磁場B選擇一個矢量勢。不難證明可選

(12)

這是因為

而且

這稱為矢量勢的對稱規範。因而哈密頓量成為

(13)

這個哈密頓量顯然是繞z軸旋轉（也就是在xy平面上繞原點旋轉）不變的，所以粒子角動量的z分量是守恆的。問題是哪個角動量？是機械角動量嗎？不是。應該是正則角動量。注意，粒子運動軌道的圓心可能在平面上的任何一點，而如果圓心不在原點，它的機械角動量的z分量顯然不是常數。下面我們來證明：無論粒子的運動軌道的圓心在哪一點，粒子的正則角動量的z分量是守恆的。為確定起見，假設粒子就是電子即q=-e (e>0)，因而是逆時針旋轉的，軌道的圓心在rc，半徑是R，那麼根據前面的分析，電子的運動是

所以機械動量的分量是

電磁動量的分量是

因而正則動量的分量是

由此可知正則角動量的z分量是

它的確是常數。此外還有一件有趣的事情：按照通常的理解，當粒子做逆時針轉動時，它的角動量的z分量是大於零的，但是現在我們發現：如果rc>R，lz是小於零的。其原因在於：粒子的機械角動量的平均值總是大於零的，並且與rc的位置無關，但電磁角動量的平均值總是小於零的，並且隨著rc離開原點而變得越來越大，到後來就會壓過機械角動量而成為正則角動量的主要成分。這向我們提示了正則動量和機械動量有重要區別，在某些條件下，它們甚至可能有完全相反的特徵。

前面還提到：正則動量依賴於規範的選擇。所以，「正則角動量的z分量守恆」這個結論，其實只在對稱規範下才成立，如果換一個規範的話，守恆量就是別的量了。比如我們重新選擇所謂的朗道規範

(14)

不難證明它也滿，那麼哈密頓量就變為（也是對電子）

(15)

顯然，這個哈密頓量不再具有旋轉不變性，而是變為具有x方向的平移不變性（哈密頓量與坐標x無關），因而正則動量（不是機械動量）的x分量是守恆的。驗證如下。粒子的運動仍然如前，所以它的機械動量還是一樣，然而電磁動量變為

因而正則動量的x分量是

它的確是常數。在粒子的圓周運動中卻存在著守恆的線動量，不能不說是非常新奇的事，而這也來自於正則動量不同於機械動量。

通常來說人們習慣的認識是：確定的運動有確定的守恆量。然而這個例子告訴我們：對於磁場中的帶電粒子，儘管粒子的運動是完全確定的，守恆量卻會隨著規範勢的不同選擇而改變。這使我們運用守恆定律時必須特別小心。

3 量子力學： 正則動量算符和機率流

然後我們從經典力學的正則形式（哈密頓形式）過渡到量子力學。熟知經典力學的「正則量子化」規則就是把正則動量p變成算符

(16)

所以哈密頓量也變成了算符（仍然是對電子）

(17)

如果矢量勢A滿足規範條件(4)，則哈密頓量算符也可以寫成

(18)

問題是： 在經典力學裡，我們是通過機械動量和電磁動量來理解正則動量，而量子力學的情況卻倒過來了：我們的出發點就是正則動量，那麼機械動量體現在哪裡？為了回答這個問題，我們先寫下相應的薛丁格方程：

(19)

其中Ψ(r,t)是波函數，所以

取復共軛得

根據玻恩對波函數的機率解釋，ρ=|Ψ |2=Ψ *Ψ是坐標機率密度，從以上兩式可得ρ對時間的變化率為

若記

(20)

就有方程

(21)

這表達了機率守恆，其中j 應理解為坐標機率流密度。眾所周知，在電荷守恆的情況下，如果空間電荷密度是ρ，電荷平均速度是v，那麼電流密度就是j =ρv。把這裡的情況與之對照，可以把式(20)重寫為

(22)

其中，既然ρ=Ψ *Ψ，所以不妨認為粒子的「速度算符」是

(23)

它就是經典關係mv=p+eA的量子力學對應。當然，只有把這個算符和波函數結合起來（也就是通過(22)式），我們才能理解它的涵義。還要注意的是：在量子力學裡，「粒子的軌道」這個概念已經失去了意義，所以，即使我們對給定的波函數算出了粒子的機率流密度，它也只能定性地和粒子的經典運動進行比較。

對於前面所舉的例子即電子在勻強磁場中的運動，在對稱規範的情形下，哈密頓量算符是

(24)

不難發現

(25)

所以正則角動量的z分量是守恆量，這和經典物理的結論一致。因此可以取定態同時是的本徵態，也就是說在平面極坐標系(r,φ)中，定態波函數可以寫為分離變量的形式：

(26)

它對應的的本徵值是。熟知此時電子的能級（稱為朗道能級）是

(27)

其中ωc=eB/m 就是同步迴旋頻率，但是這些能級是無窮度簡併的（對於無限大平面），比如對於基態(n=0)，就有無窮多個波函數

(28)

（是歸一化因子）給出相同的能量。注意現在全體，但它是正則角動量而不是機械角動量的分量的值。在極坐標系中，∇算符是

對稱規範的矢量勢在xy平面內也可以寫為

所以對於式(28)的波函數，(22)式的坐標機率流密度j 的正則動量部分是

由於M≤0，所以它是逆著eφ方向的，而電磁動量部分是

它是順著eφ方向的，二者之和是

儘管M≤0，足夠大的u 總可以使u2+M>0，即粒子的機率流順著eφ的方向。這和粒子的經典運動圖像是一致的。

如果取朗道規範，那麼哈密頓量算符是

(29)

這時

(30)

即是守恆量，也和經典物理的結論一致。波函數的分離變量形式現在變為

(31)

其中px代表算符的本徵值，把它代入薛丁格方程，知Ф(y)需滿足

(32)

這正是在y軸上固有頻率為ωc的線性諧振子的薛丁格方程，只不過勢能曲線的對稱軸是y=y0，所以我們仍然得到式(27)給出的能譜，但能級的簡併變成了不同的px值。現在基態(n=0)的波函數變為

(33)

（C′是歸一化因子），因而機率流密度j 的正則動量部分只有x分量，其值為

j 的電磁動量部分也只有x分量，其值為

二者相加給出

當y>y0時jx<0，粒子的坐標機率流朝左，而y<y0時jx>0，坐標機率流朝右，這也和粒子的經典運動圖像是一致的。

4  量子力學理論的規範不變性

在量子力學裡，正則動量的算符表示總是，與矢量勢的選擇無關，但我們不能因此就說量子力學裡的正則動量是規範不變量。事實上，在量子力學裡，物理量的測量結果不僅僅與代表它的算符有關，而且和波函數也有關。所以我們還要問：在規範變換下，波函數怎麼變？可以證明，為了保證理論的規範不變性，當規範勢受到變換A→A′=A+∇α的時候，波函數要受到變換

(34)

這稱為波函數的規範變換。可以從兩個角度理解它的合理性。粒子機率流的正則動量部分是，當波函數受到規範變換的時候，它的變換是

這和式(9)p→p′=p+q∇α相對應。此外，薛丁格方程是

(35)

對這個方程進行規範變換，即是把其中的Ψ 和A 換成Ψ ′和A′，則左方變為

右方變為

因此仍然有

(36)

即是薛丁格方程在規範變換下不變，所以量子力學理論是規範不變的理論。

5  關於磁鏡裝置的討論

磁鏡是利用磁場對等離子體的運動進行約束的裝置[3]，圖1（取自文獻[3]）是一種比較典型的磁鏡。兩個同樣的通電圓線圈同軸地放置，因而產生了兩頭強中間弱的磁場，這種磁場就可以把在其中運動的離子在強磁場處反射回去，如同鏡子反射光線一樣，所以被稱為磁鏡。利用正則動量的概念，我們對它的工作原理分析如下。

由圖1可知在磁鏡裝置的軸線(z軸)附近，採用柱坐標系(ρ,φ,z )，磁場B是

(37)

由於B 要滿足∇·B=0，所以Bz和Bρ必須滿足

由此可知

因而磁場的分布是

(38)

其中B(z)(>0)是已知函數（文獻[3]中有式(37)但並未給出式(38)）。那麼什麼樣的A可以給出這樣的B？利用柱坐標系中的旋度公式

不難證明可以取

(39)

由於這個A與時間 t 無關，也與角度φ無關，所以離子的動能和它的正則角動量的z軸分量都是守恆的，即有

(40)

和

(41)

其中離子的運動由ρ (t ),φ (t ),z (t )描寫，vρ≡dρ/dt, vφ≡ρ(dφ /dt ),vz≡dz /dt，離子的電荷q>0。在分析力學中，這樣的守恆方程被稱為運動方程的一次積分。其實，即便不引入正則動量的概念，式(41)也可以藉運動方程m(dv /dt )=qv ×B的柱坐標形式

(42)

(43)

(44)

直接導出（文獻[3]沒有引入矢量勢A，也沒有寫出完整的離子運動方程，因而沒能給出式(41)）。由於離子在磁場中的迴旋運動非常之快，當它完成一周的迴旋運動時在z方向上只移動了很小的距離，所以我們可以對它應用絕熱近似，即假設離子的迴旋頻率（參見式(11)）完全由當地的磁場所決定，這樣就有

(45)

把它代入式(42)中，就得到

(46)

由此可知vρ=常數。但文獻[3]的式(2)未說明理由就取了vρ=0，未免過於武斷。實際上，從圖1也可以看出vρ是不等於零的。與此同時，兩個一次積分也分別變為

(47)

(48)

由(46)—(48)式可以看出，一旦函數B (z)和初始條件(即ρ,φ,z；vρ,vφ,vz的初始值)給定(比如說讓離子的初始位置在z=0的平面上，vρ0,vφ0<0,vz0>0)，我們就可以完全解出離子此後的運動ρ(t)，φ(t)，z(t)（這稱為可積的問題），求解過程就不細寫了。對我們的目標而言，重要的是從式(47)可知ρ2B=c1(常數)，而式(45)給出vφ2=(q2/m2)ρ2B2=(q2/m2)c1B，所以在離子朝右方運動的過程中總有

(49)

這個式子與文獻[3]中的式(8)是一致的。另一方面，式(48)又給出了vφ2+vz2=常數=vφ02+vz02，所以，當B(z)的值增大到

(50)

的時候，離子運動到那一點就有vz=0，因而不再向前運動了。這就是磁鏡裝置的基本工作原理。式(50)和文獻[3]的最後結果（即它的式(10)）是一致的，但這裡的分析更嚴格，補充了一些它沒給的式子，還指出了它的某些式子實際上是錯的。

參考文獻

[1]周衍柏. 理論力學教程[M]. 3版. 北京,高等教育出版社,2009.

[2]郭碩鴻. 電動力學[M]. 3版. 北京,高等教育出版社,2008.

[3]張琳,蔡莉莉. 磁鏡原理及其在磁約束中的應用[J]. 物理與工程,2013,23(3): 16-18.

Zhang Lin, Cai Lili. Principle of magnetic mirror and its application in magnetic confinement[J]. Physics and Engineering, 2013, 23(3): 16-18. (in Chinese)

引文格式: 徐湛. 正則動量面面觀[J]. 物理與工程,2017(5):3-9. 

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