知識點：
視頻教學：
練習：
①在平面直角坐標系中，若第二象限內的點P(a，b)，滿足|a|=3，b²=3，那麼點P的坐標是多少。
②已知點A(a²-5，6)和點B(a，3a)，若直線AB平行於x軸，那麼求點A到y軸的距離。
③平面直角坐標系中，點A與點B(a，b)關於y軸對稱，點B關於原點的對稱點是C(3，b+4)，求點A的坐標。
④如圖平面直角坐標系中，線段AB平移到CD，連接BC，坐標如圖，求線段BC的長度。
⑤平面直角坐標系中有點P(m-1，m+1)，把點P向上平移2個單位後正好落在x軸上，
那麼想把點P移動到二，四象限的角平分線上，需要向右移動幾個單位。
⑥平面直角坐標系中，等邊△OAB中，點O是原點，點A(4√3，0)，求AB的中點C的坐標。
需要PDF列印版的可以找劉老師（shenyangmath）領取，關於初中數學，初中奧數有任何疑問或建議也可以聯繫劉老師，謝謝大家的支持。會陸續為大家奉獻精彩內容。以下是練習題的答案與解析，解題方法多種多樣，僅供大家參考。
①答案：(-3，√3)
解析：點P在第二象限，所以a<0，b>0。
所以a=-3，b=√3，點P的坐標是(-3，√3)。
②答案：1
解析：因為直線AB平行於x軸，所以A，B縱坐標相等，即6=3a，解得a=2。
點A的坐標是(-1，6)，根據點到y軸的距離等於橫坐標的長度，所以它到y軸的距離是|-1|=1。
③答案：A(3，-2)
解析：B與C關於原點對稱，根據原點對稱的點的坐標特點，可知a=-3，b=-(b+4)，解得b=-2
即點B(-3，-2)，關於y軸對稱，那麼縱坐標不變，橫坐標是相反數，所以點A(3，-2)。
④答案：√65
解析：根據平移規律，
點B與點D的橫坐標是6和3，所以向左平移了3個單位。
點A與點C的縱坐標是8和2，所以向下平移了6個單位。
所以a=2-3=-1，b=0+6=6，即點B(6，6)，點C(-1，2)
根據兩點距離公式或勾股定理
BC²=(6-(-1))²+(6-2)²=49+16=65，所以BC=√65。
⑤答案：6
解析：向上平移2個單位後正好落在x軸上，可知m+1+2=0，即m=-3。
所以點P(-4，-2)，向右移動則縱坐標不變。
二，四象限的角平分線上的點，橫坐標與縱坐標互為相反數，
所以移動到(2，-2)，需要移動向右移動2-(-4)=6個單位。
⑥答案：C(3√3，3)
解析：過點B作BD垂直於OA(三線合一)，可知OD=OA/2=2√3
所以點B的橫坐標是2√3。△OAB是等邊三角形，所以OB=OA=4√3
根據勾股定理：OB²=BD²+OD²，解得BD=6。
點A(4√3，0)，點B(2√3，6)，根據中點公式。
點C的橫坐標：(4√3+2√3)/2=3√3，點C的縱坐標：(0+6)/2=3。
課件：
教案：
【教學目標】
1. 了解兩點間的距離公式和中點公式的推導過程．
2. 掌握兩點間的距離公式和中點公式，並能熟練應用這兩個公式解決有關問題．
3. 培養學生勇於發現、勇於探索的精神以及合作交流等良好品質．
【教學重點】
兩點間的距離公式、中點公式．
【教學難點】
距離公式與中點公式的應用．
【教學方法】
這節課主要採用問題解決法和分組教學法．本節教學中，將平面（二維）的數量關係轉化為軸（一維）上的數量關係是關鍵．先從複習上節內容入手，通過構建直角三角形，將兩點間的距離轉化為直角三角形的斜邊長，從而利用勾股定理求出兩點間的距離．最後討論了平面直角坐標系中的中點公式．教學過程中，通過分組搶答的形式，充分調動學生的積極性．
【教學過程】
環節
教學內容
師生互動
設計意圖
引
入
1．一般地，如果A(x1)，B(x2)，則這兩點的距離為
|AB|＝|x2－x1|．
2．一般地，在數軸上，A(x1)，B(x2)的中點坐標x滿足關係式
x＝．
師：上節我們學習了數軸上兩點的距離公式與中點公式．那麼在平面直角坐標系內，已知兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求這兩點的距離？如何計算這兩點的對稱中心的坐標？
提出問題，激發學生的學生興趣．
新
課
新
課
新
課
新
課
1. 距離公式
探究一
如圖，設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
過A，B分別向x軸、y軸作垂線AA1，AA2和BB1，BB2，垂足分別為A1，A2，B1，B2，其中直線BB1和AA2相交於點C．
兩點的距離公式
|AB|＝．
探究二
求兩點之間的距離的計算步驟：
S1 給兩點的坐標賦值
x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 計算兩個坐標的差，並賦值給另外兩個變量，即
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
S3 計算d＝；
S4 給出兩點的距離d．
例1 已知A(2，－4)，B(－2，3)，求|AB|．
解 因為x1＝2，x2＝－2，y1＝－4，y2＝3，所以
dx＝x2－x1＝－2－2＝－4，
dy＝y2－y1＝3－(－4)＝7．
因此
練習一
求兩點之間的距離：
（1）A(6，2)，B(－2，5)；
（2）C(2，－4)，D(7，2)．
2. 中點公式
探究三
如圖所示，若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，那麼怎麼求它們的對稱中心的坐標？
設M(x，y)是A，B的對稱中心，即線段AB的中點．過A，B，M分別向x軸，y軸作垂線，AA1，AA2，BB1，BB2，MM1，MM2，垂足分別是A1，A2，B1，B2，M1，M2．
在平面直角坐標系內，兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)的中點M(x，y)的坐標滿足
．
例2 求證：任意一點P(x，y)與點P′(－x，－y)關於坐標原點成中心對稱．
證明 設P與P′的對稱中心為(x0，y0)，則
所以坐標原點為P與P′的對稱中心．
練習二
求下列各點關於坐標原點的對稱點：
A(2，3)， B(－3，5)， C(－2，－4)，D(3，－5)．
例3 已知坐標平面內的任意一點P(a，b)，分別求它關於x軸的對稱點P′，關於y軸的對稱點P′′的坐標．
練習三
求下列點關於x軸和y軸的對稱點坐標：
A(2，3)， B(－3，5)， C(－2，－4)，D(3，－5)．
例4 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求頂點D的坐標．
解 因為平行四邊形的兩條對角線的中點相同，所以它們的坐標也相同．設點D的坐標為(x，y)，則
解得
所以頂點D的坐標為(0，4)．
練習四
已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，求頂點D的坐標．
教師提出探究問題，學生根據已有的知識探究問題的解：
（1）以上四個垂足的坐標分別是多少？
（2）|AC|與|A1B1|關係如何？如何求|A1B1|？
（3）|BC|等於多少？
（4）在直角三角形ABC中，如何求|AB|？
（5）你能表示出|AB|嗎？
教師在學生探究的基礎上，投影距離公式，並讓學生記憶．
師：你能說出求平面上兩點間距離的步驟嗎？
教師引導學生探究依據公式求兩點距離的步驟．
教師引導學生結合求平面上兩點間的距離的步驟解答．
學生練習，教師巡視指導．
教師提出要探究的問題，學生解答以下問題：
（1）你能說出垂足A1，A2，B1，B2，M1，M2的坐標嗎？
（2）點M是AB中點嗎？M1是A1，B1的中點嗎？它們的坐標有怎樣的關係？
（3）M2是A2，B2的中點嗎？它們的坐標有怎樣的關係？
（4）你能寫出點M的坐標嗎？
教師投影結論，學生理解掌握．
師：例2中，點P與P′的對稱中心是P與P′的中點嗎？坐標怎麼求？是多少？
教師強調本例題的結論．
學生搶答，教師點評．
師：（1）如果點P與P′關於x軸對稱，PP′與x軸垂直嗎？P′的橫坐標是多少？
（2）PP′與x軸的交點M是線段PP′的中點嗎？M點的縱坐標是多少？
（3）你能求出P′的縱坐標嗎？怎麼求的？
（4）由以上分析，點P′的坐標是多少？
（5）你能求出P′′的坐標嗎？
教師在學生探究的基礎上進行總結．
學生搶答，教師點評．
教師引導學生解答，強調AC的中點與BD的中點相同．
教師規範解題步驟．
學生練習，教師巡視．
將探究問題細化為5個小問題，層層遞進，降低了問題的難度，從而有利於學生解答．
為了學生便於理解，課件中將過A，B兩點向x軸和y軸做垂線的過程，分解為分別向x軸做垂線和向y軸做垂線兩步．
在探究過程中，進一步深化對公式的理解與掌握．
通過例題的解答，使學生明確求兩點間距離的步驟．
檢驗學生對公式掌握情況．
將問題細化為4問，降低難度，學生容易在解答過程中得到公式．
將問題化歸為求點P與P?的中點坐標．
檢驗對例2所得結論的掌握．
檢驗例3的掌握情況．
利用中點公式解決實際問題，進一步強化對公式的理解和掌握．
強化訓練．
小
結
1．直角坐標系中兩點間的距離公式．
2．直角坐標系中兩點的中點公式．
3．點的對稱．
教師引導學生回顧總結本節所學內容．
簡潔明了地概括本節課的重要知識，學生易於理解記憶．
高中地理(必修+選修)微課精講+考點匯總
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