今天，讓我們先從一則特殊的「童話」故事開始：
在一個正四面體星球的一個頂點上，住著一位數學家，在這顆星球的其餘頂點上，各有一枝玫瑰。數學家有一隻羊，每天他都會帶羊散步，他不想轉彎只想走直線，且不想經過其他頂點，免得羊會吃掉那裡的玫瑰。請問：有沒有這樣一條散步路徑，可以讓數學家的羊沿著直線出發後，既不會破壞玫瑰，還能在安全返回家中？
如果你不知道問題的答案，請先別著急，再來看這個：
在一個正十二面體星球的一個頂點上，住著一位不愛社交的數學家，在星球的其他頂點上，也都各有一家住戶。每當數學家想出去散步時，總是害怕會經過其他住戶的家而與他人碰面。因此他開始為自己設計路程，想要找到這樣一條直線路徑，可以在既不經過別人的家，還可以返回到自己家中？
這兩個問題聽起來似乎很像，但它們是否有著相同的答案？
其實，我們今天要講的，正是幾位數學家，對於發生在這些」奇怪星球「上的」奇怪的散步需求「問題的破解。
一
正三角形、正方形、正五邊形等圖案，或許是我們在學校接觸到的最早的幾何形狀。理論上講，這種每條邊的長度、每個角的大小都相等的二維正多邊形可以有無窮多個，只是隨著數字的增大，它們越來越接近於一個圓。
正多邊形。素材來源：Wikipedia
但是當從二維提升到三維談論正多面體時，相等的性質除了邊和角之外，正多面體上的每個面也必須都相等。與正多邊形不同的是，正多面體的種類並不是無窮多個，而是最終可被分為五種：正四面體、立方體、八面體、二十面體和十二面體。
正多面體。素材來源：Wikipedia；圖片設計：雯雯
無論在數學還是在藝術上，這些正多面體都扮演了重要角色。人類對正多面體的研究已經持續了至少兩千多年，然而在數學家眼中，這些幾何結構仍存在許多未知問題，並總能從這些特殊的結構中發現一些「新鮮事」。
數學家Jayadev Athreya與他的同事就對研究正多面體非常熱衷，自2016年開始研究以來，他們已經提出了一些新的想法，並發現了一些新的定理。不僅如此，Athreya等人還解決了一個已經困擾了數學家一個多世紀之久的問題，這是一個關於正十二面體的最基本的問題。今年5月，他們將結果發表在了《實驗數學》雜誌上。
二
Athreya所研究的問題，正和文章開頭的兩則「童話」有關，即假如我們生活在一個正多面體世界，有沒有可能存在這樣的直線路徑，可以讓你從正多面體的某個頂點出發，順著這條直線一直前行，可以在不經過其他任何頂點的情況下，返回到原點。
在研究正多面體的這種直線路經問題時，數學家會用到的一個基本想法就是將這些多面體展開。以正四面體為例，它的展開是一個由4個三角形組成的等邊三角形。
左：正四面體的展開圖，恢復正四面體只需相同顏色的邊進行摺疊；右：兩個正四面體的展開圖可以通過將其中之一旋轉180°而進行結合。素材來源：J Athreya et. al；圖片設計：雯雯
如上圖左邊所示，當我們想要將正三角形恢復成正四面體時，只需將顏色相同的邊對著粘合即可；而要將兩個展開圖形結合，則只需將其中一個旋轉180°，再將它們拼在一起即可。如果繼續向各個方向無限地進行這種結合，就能將這些圖形密鋪到整個空間。
現在，在正四面體上的直線問題被演變成了，我們是否可以在展開圖上畫出一條直線，直線所連接的兩點具有相同的顏色？
其實，對由三角形構成的正四面體、八面體、二十面體，以及由正方形構成的立方體，數學家們早已知道這個問題的答案：對於這四種正多面體來說，從任何一個頂點開始沿直線前進，都必定要經過另一個頂點才能重返原點。這意味著，「正四面體星球」上數學家是無法阻止種植在其他頂點上的玫瑰被羊吃掉的厄運的。
那麼，第二個故事中的「社恐」數學家，是不是也同樣無法如願進行想要的散步了？
其實一直以來，並沒有人知道由12個五邊形組成的正十二面體在這個問題中的情況。與其他四種正多面體相比，正十二面體有一個顯而易見的不同：對於正四面體、立方體、八面體和二十面體，構成了它們的圖形可以密鋪整個空間；而正十二面體的展開圖形卻不能做到這一點。
正三角形、正方形都可以無縫隙密鋪空間，但正五邊形卻無法做到這一點。素材來源：J Athreya et. al & Wikipedia；圖片設計：雯雯
三
然而現在，我們終於知道了剩下的那種情況的答案。Athreya和論文的合著者利用優雅簡潔的圖形和現代計算機方法，為正十二面體這種特殊結構找到了答案：正十二面體上的確存在這樣的直線路徑，不僅如此，這樣的直線路徑在正十二面體上有無窮多個。
正十二面體上存在這樣的直線，它從一個頂點出發可以返回這個頂點，且無需經過其他任何頂點。素材來源：J Athreya et. al；圖片設計：雯雯
如果這樣的路徑有無窮多個，那麼要如何將它們列出呢？
這裡，研究人員用到的一個關鍵概念是數學裡的「等價類」。它說的是，對於任何一個集合的數學對象，如果在集合上定義了等價的概念，就可以將集合中的元素分成彼此等價的子集。
比如以自然數集合1, 2, 3, ……來說，它既包含無窮多個偶數2、4、6、……，也包含無窮多個奇數1、3、5……，對於這偶數或奇數這兩個類，我們可以分別通過從0或1開始，向每個元素添加一個偶數來獲得。在正十二面體的直線路徑例子中，數學家根據的是不同的對稱類型將它們分類成子集的。按照這種分法，他們發現正十二面體上的無窮多個路徑可被分為31個等價類。
圖中所示的是表示第1、2、3、25個等價類的路徑例子，可以看出第25類路徑非常長。素材來源：J Athreya et. al；圖片設計：雯雯
四
現在我們終於知道，「正十二面體星球」上的那位「社恐」數學家可以安心地制定散步計劃了，他有無數種選擇可以滿足他只走直線，且不遇到鄰居的散步需求。新的結果找到了長期以來缺失的那塊多面體上的直線路徑問題的最後一塊拼圖。而這些研究結果也再次提醒我們，即便是我們已經研究了數千年的問題，也有可能出現新的驚喜。