【SymPy】(七)方程求解(八)矩陣

【SymPy】（一）SymPy簡介

【SymPy】（二）使用SymPy需要避開的坑

【SymPy】（三）基本操作（四）列印

【SymPy】（五）簡化

【SymPy】（六）微積分

（七）方程求解

（八）矩陣

1 基本操作

2 基本方法

3 矩陣構造函數

4 先進的方法

（七）方程求解

from sympy import *
x, y, z = symbols('x y z')
1 等式
從前面的文章我們知道，SymPy中的符號方程不是用=或==表示的，而是用Eq表示的。
然而，還有一個更簡單的方法：我們知道a=b相當於a−b=0。在SymPy中，任何不在Eq中的表達式都被SynPy的求解函數（如solveset()）假定等於0。這意味著我們可以不使用x==y，而使用x-y（被求解函數認為是x-y==0）。
如果要求解的方程已經等於0，則這一點特別有用。我們在編程時不用鍵入Eq：solveset(Eq(expr,0),x)，只需使用solveset(expr,x)即可求解方程。例如：
2 求解代數方程
求解代數方程的主要函數是solveset。其語法為：solveset(equation, variable=None, domain=S.Complexes)
式中，等式可以是Eq實例或表達式的形式（假定為零）。
還有一個函數叫做solve，也可以用來解方程。它的語法為solve(equations, variables)，後面會介紹它的用途。
當求解一個等式時，solveset的輸出有：有限集，域，映射集
如果無解，則返回一個空集，如果無法找到解決方案，則返回一個條件集合。
在solveset模塊中，使用linsolve求解線性方程組。下面是linsolve的語法示例：
註：解的順序對應於給定符號的順序。
在solveset模塊中，使用nonlinsolve求解非線性方程組。
下面是nonlinsolve的示例。
註：（1）解的順序對應於給定符號的順序。
（2）nonlinsolve不會返回LambertW形式的解（如果存在LambertW形式解的話）。solve則可用於這種情況：
（3）nonlinsolve不能很好地求解具有三角函數的方程組。solve也可用於此類情況（但不能給出所有解決方案）
solveset只給出每個解。要得到包含多重性的多項式的解，使用roots。
roots的輸出{0: 1, 3: 2}意思是：0是重數為1的根，3是重數為2的根。
solveset 無法求解由LambertW（超越方程求解器）求解的方程。而solve可以：
3 求解微分方程
要求解微分方程，可使用dsolve。首先，通過將cls=function傳遞給symbols函數來創建未定義的函數。
f, g = symbols('f g', cls=Function)
f和g現在是未定義的函數。我們可以調用f(x)，它表示一個未知函數。
f(x)的未估值導數：
要求解常微分方程，請將其和要求解的函數傳遞給dsolve。
如求解微分方程：
dsolve返回Eq的一個實例。這是因為一般情況下，微分方程的解不能為函數顯式求解。
dsolve解中的任意常數是C1、C2、C3等形式的符號。
（八）矩陣
from sympy import *
要在SymPy中生成矩陣，使用Matrix對象。通過提供構成矩陣的行向量的列表來構造矩陣。
例如，構造矩陣：
為了便於生成列向量，單獨一個元素列表被認為是列向量
矩陣的操作與SymPy或Python中的任何其他對象一樣。
關於SymPy矩陣需要注意的一點是，與SymPy中的其他對象不同，它們是可變的。這意味著可以對它們進行適當的修改。如果需要Matrix的不可變，請使用ImmutableMatrix。
1 基本操作1.1 獲取矩陣形狀
要得到矩陣的形狀，請使用shape：
1.2 訪問行和列
若要獲取矩陣的單個行或列，請使用row或col。例如，M.row(0)將獲取第一行。M.col(-1)將獲取最後一列。
1.3 刪除和插入行和列
要刪除行或列，請使用row_del或r col_del。這些操作將修改矩陣。
要插入行或列，請使用 row_insert或col_insert。
2 基本方法
簡單的加法和乘法操作僅通過使用+、*和**來完成。要求矩陣的逆，則計算-1次方。
求Matrix的轉置，用T：
3 矩陣構造函數
要創建單位矩陣，請使用eye。eye(n)將創建一個n×n單位矩陣。
zeros(n, m)創造一個 n × m 的零矩陣
相似地，ones創建全1矩陣
要創建對角矩陣，請使用diag。diag的參數可以是數字或矩陣。其中數字被解釋為1×1矩陣。輸入的矩陣按對角線排列。其餘元素用0填充。
4 先進的方法4.1  行列式
要計算矩陣的行列式，請使用det。
4.2 簡化的階梯形式
若要將矩陣轉換為簡化的階梯形式，請使用rref
rref返回兩個元素的元組。第一個元素是簡化的行梯隊形式，第二個元素是主元的列索引。
註：rref返回的元組的第一個元素是Matrix類型。第二種是tuple類型。
4.3 零空間（Nullspace）
要找到矩陣的零空間，請使用nullspace，得到輸出張成矩陣零空間的列向量。使用ASCII Pretty Printer格式輸出：
4.4 列空間（Columnspace）
要找到矩陣的零空間，請使用columnspace，得到輸出張成矩陣列空間的列向量。
4.5 特徵值、特徵向量和對角化（Eigenvalues, Eigenvectors, and Diagonalization）
要求矩陣的特徵值，請使用eigenvals。eigenvals返回一個字典：{特徵值：代數重數}
表示M特徵值有-2、3和5，特徵值-2和3的代數重數為1，特徵值5的代數重數2。
要找到矩陣的特徵向量，請使用eigenvects。返回(特徵值：代數重數，[特徵向量])。
從結果我們也可以知道特徵值5的幾何重數為2，因為它有兩個特徵向量。因為所有特徵值的代數重數和幾何重數是相同的，所以M是可對角化的。
使用diagonalize實現對角化，返回一個元組
Tip：要創建一個名為λ的符號，可以對SymPy符號和Python變量使用相同的名稱——lamda（不帶b）。它可以被列印為λ。
如果只需要特徵多項式，請使用charpoly。這比eigenvals更有效，因為有時符號根的計算成本很高。