北師大版八年級上5.2 求解二元一次方程組

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知識點總結

代入消元法代入消元法的實質是將二元一次方程組中的某一個方程進行未知數的分離，即將該方程進行變換，完整分離出一個獨立的未知數，而這個未知數將用含有另一個未知數的式子來表示。設某二元一次方程組為：這樣我們便得到了一個一元一次方程，容易解出其解為：若將上述方程組中的（1）式乘以b2，（2）式乘以b1，則方程組變成：通過觀察我們發現（6）式和（7）式中含有 y 的係數相同，那麼(6)-(7)可將 y 這個未知數消除，於是得到只含有一個未知數 x 的方程：將其代入原方程組中的任一個，即可得出如（5）一樣的解。
行列式法在談到這種解法時，我們要先知道一個定義，即什麼是行列式，以及行列式的值怎麼求，由於解二元一次方程組只用到二階行列式，而二階行列式的值又極容易求得，下面我們給出二階行列式的定義，即如下形式排列的式子叫做行列式，它的值由等號後面的式子進行計算：觀察（8）式，我們發現這個行列式的求值方法是對角線之積再做差即得。
1、先將二元一次方程組寫成如（1）（2）式的標準樣子；2、將這個二元一次方程組的未知數係數寫成如（8）式一樣的行列式並求得其值，該值將做為兩個未知數對應的值的分母；3、當計算x值時，將（8）式中原 x 的係數換為對應式子常數項的值，繼續求行列式的值，該值即為  x 對應值的分子；y的求法同理。二元一次方程的計算機解法在採用Sympy來解含有小數的一元一次方程這篇文章中，我們已經學過了python中的sympy這個軟體包解方程的強大功能，在這裡，我們再次展現一下它的威力，首先將方程組中每一個方程均寫成右側0的格式，然後將它們定義成一個列表，最後調用sympy中的solve來解方程，代碼如下：通過上述代碼運行結果，我們可以看出計算機解算出的答案和我們的答案完全一致。（只是在用計算機解算時，需要將方程組中的每一個方程均寫成右側為0的形式，細心的同學自然能發現這一點。）
小結本文總結了二元一次方程的三種常規解法以及如何利用計算機進行解方程組的方法，但方法只是前人在大量的解算基礎上總結出的規律，具體到每一個不同的方程，都需要具體去分析用何種方法更方便，而這就要求同學們對於各種方法都必須了如指掌才行。三元一次方程的解法也同樣是利用代入或加減消元將其降維為二元，然後繼續降維為一元，待解出答案後，再反推其餘的解，這種思維方式正是我們在解決問題中常用的一種思維，即降維思維。在大量的習題中，我們將來還會發現這樣一個規律，即有些應用題可以用一元方程去做，也可以用二元方程去做，甚至還可以用算術方法去解答，通過比較這些方法我們可以發現：設的未知數較多，則式子看起來更明顯，式子本身即成了對題目的直接數學翻譯；但未知數較少或是沒有未知數隻用算術方法求解，則式子本身便含有相當複雜的意思，甚至已經無法從式子來看出原題目的意思了。事實上，將現實問題翻譯成數學問題後，我們便完成了第一步抽象，而後我們所有學到的知識便是在數學的框架內進行，倘若推遲這第一步抽象，直接用思維去對接實際問題，那只是還停留在較原始的階段，然而較原始的階段並不意味著簡單，事實上，越是原始的東西，越是難以理解，這是人類本身思維的局限，也正是人類中偉大的學者們認知到這一點，所以他們才創建了各種各樣現在看起來高級的知識，而這正是將那些實際問題簡單化處理的方法，這一點，請同學們在日後的學習中仔細體會。

解法步驟

1、變形。兩個方程，首先分別變成，未知數在左邊，常數在右邊的形式。如果同一個未知數的係數，既不互為相反數，又不相等，那麼就方程的兩邊同時乘以適當的數，一般是同一個未知數的不同係數的最小公倍數，使同一個未知數的係數互為相反數或者相等。

2、加減。將變形後的兩個方程相加，或者相減，消去一個未知數。得到一個一元一次次方程。

3、求解。解這個新得到的一元一次方程，求得這個未知數的值。

4、回代。把這個求得的未知數的值，代入原方程組中的任意一個方程，求出另外一個未知數的值。

5、做結論。把求得的兩個未知數的解，用大括號聯立起來，這就是原方程組的解。

教學設計

【教學目標】

1.會用代入消元法解二元一次方程組

2.了解解二元一次方程組的消元思想,初步體現數學研究中「化未知為已知」的化歸

思想,從而「變陌生為熟悉」

3.利用小組合作探討學習,使學生領會樸素的辯證唯物主義思想

【重點】用代入法解二元一次方程組,基本方法是消元化二元為一元.

【難點】用代入法解二元一次方程組的基本思想是化歸——化陌生為熟悉.

【教學過程】

一、引入

上節課我們的老牛和小馬的包裹誰的多的問題,經過大家的共同努力,得出了二元一次方程組     x-y=2         ①     到底誰的包裹多呢?

             x+1=2(y-1)     ②

這就需要解這個二元一次方程組.

二、一元一次方程我們會解,二元一次方程組如何解呢?

我們大家知道二元一次方程只需要消去一個未知數就可變為一元一次方程,那麼我們發現：

由①得y=x-2

由於方程組相同的字母表示同一個未知數,所以方程②中的y也等於x-2,可以用x-2代替方程②中的y.這樣就得到大家會解的一元一次方程了.

三、做一做

我們知道了解二元一次方程組的一種思路,下面我們來做一做

例1、解方程組    3x+ 2y=8        ①

                   x=        ②

  解：將②代入①,得3(y+3)+2y = 14

3y+9+2y=14

5y =5

y=1

         將y=1代入②,得x=4

所以原方程組的解是      x=4

y=1

 例2、解方程組    2x+3y=16      ①

                   x+4y=13       ②

教師先分析：此題不同於例1, (即用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數)，②式不能直接代入①,那麼我們應當怎樣處理才能轉化為例1②式這樣的形式呢? 請同學回答

(應先對②式進行恆等變化,把它化為例1中②式那樣的形式.)

分小組合作完成上述例題,請兩個小組的代表上黑板上來板演

解：由②，得    x=13-4y         

   將③代入①，得2(13-4)S+3y=16

                 26-8y+3y=16

                 -5y=-10

                y=2

   將代入③，得  x=5

所以原方程組的解是   x=5

y=2

四、議一議、

上面解方程組的基本思路是什麼？主要步驟有哪些？

上面解方程組的基本思路是「消元」——把「二元」變為「一元」。主要步驟是：①將其中一個方程中的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，②將這個代數式代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程式。③解這個一元一次方程。④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一個未知數值，組成方程組的解。這種解方程組的方法稱為代入消元法。簡稱代入法。

五、練一練、

1、已知x+3y-6=0，用含x的代數式表示y為              ，用含y的代數式表示x 為

                .

2、書本P188隨堂練習

六、小結、

1、今天我們學習了二元一次方程組的解法，你有什麼體會？

2、解二元一次方程組的思路是消元，把二元變為一元

3、解題步驟概括為三步即：①變、②代、③解、

4、方程組的解的表示方法，應用大括號把一對未知數的值連在一起，表示同時成立，不要寫成x=？y=？

5、由一個方程變形得到的一個含有一個未知數的代數式必須代入另一個方程中去，否則會出現一個恆等式。

七、作業、

1、已知    x=1   是方程組    ax+by=2   的解，則a、b的值是多少？

           y=1               x-by=3

2、若方程組  4x+3y=1       的解x與y相等，則a的值是多少？

              ax+(a-1)y=3

教後感：本節課是利用小組合作探討學習,使學生正確掌握用代入消元法解二元一次方程組的方法下，通過學生自己的觀察、發現,初步體現數學研究中「化未知為已知」的化歸思想,從而「變陌生為熟悉」,使學生領會樸素的辯證唯物主義思想.

 

§ 5.2  求解二元一次方程組（二）

一、教學目標設計：

1.了解並會用加減消元法解二元一次方程組。

2.了解解二元一次方程組的消元思想，體會數學中「化未知為已知」的化歸思想。

3.初步體驗二元一次方程組解法的多樣性和選擇性。

教學重點和難點：

二、教學重點：

1.會用加減消元法解二元一次方程組。

2.會用加減消元法解二元一次方程組。

三、教學難點：

掌握解二元一次方程組的「消元」思想。

四、教學過程設計：

1、創設情境：

怎樣解下面的二元一次方程組呢？ 

 

分析：觀察方程組中的兩個方程，未知數y的係數互為相反數，把這兩個方程兩邊分別相加，就可以消去未知數y，得到一個一元一次方程；

    （3x ＋ 5y）+（2x － 5y）＝21    +  (－11)

             ①左邊 +   ②左邊 = ①左邊 +   ②左邊

                  3X+5y +2x － 5y＝10

                          5x+0y ＝10

5x=10 

解:由①+②得: 5x=10

x＝2

把x＝2代入①，得

           y＝3     

所以原方程組的解是 

2、探索嘗試:

參考小麗的思路，怎樣解下面的二元一次方程組呢？

例1 解下列方程組．

 

分析：觀察方程組中的兩個方程，未知數x的係數相等，都是2．把這兩個方程兩邊分別相減，就可以消去未知數x，同樣得到一個一元一次方程．

解：把 ②－①得:8y＝－8

y＝－1

          把y ＝－1代入①，得

            2x－5╳（－1）＝7

解得:x＝1                                   

所以原方程組的解是 

3.隨堂練習:

指出下列方程組求解過程中有錯誤步驟，並給予訂正：

                                      

解:①－②，得                     解　①－②，得

　　－2x＝12                           2x＝4－4，

　　　x ＝－6                            x＝0

正確的解是：

解:　①－②，得                   解:　①＋②，得

　　8x＝16                               2x＝4＋4，

　　　x＝4                           　　　x ＝2        　　

4.議一議:

上面這些方程組的特點是什麼?解這類方程組基本思路是什麼？主要步驟有哪些？

這些方程組的特點是同一個未知數的係數相同或互為相反數

這類方程組基本思路：加減消元----二元---- 一元

主要步驟：

加減----消去一個元

求解----分別求出兩個未知數的值

寫解----寫出方程組的解   

5.做一做

例2．用加減法解下列各方程組

 

分析：(1)用加減消元法解方程組時，若哪個未知數係數的絕對值正好相等，就可先消哪個未知數；若兩個未知數的係數絕對值均不等，則可選定一個未知數，通過變形使其絕對值相等，再進行消元．

(2)運用加減消元法解方程組的條件是方程組中兩個方程的某個未知數的係數的絕對值相等，當方程組中兩方程不具備這種特點時，必須用等式性質2來改變方程組中方程的形式，即得到與原方程組同解的且某未知數係數的絕對值已經相等的新的方程組，從而為加減消元法解方程組創造條件．

①×3得6x+9y=36 ③

②×2得6x+8y=34 ④

③-④得y=2

把y ＝2代入①，得

           解得:x＝3

所以原方程組的解是 

說明：1．加減消元法的依據是等式性質1，即在一個方程左右兩邊分別加上或減去另一個方程的左右兩邊，所得的結果仍是等式．經過這樣的運算，其中一個未知數被消去了，原來的「二元」化為「一元」，轉化為一元一次方程，從而可求出原方程組的解來．

2.對於不是標準的二元一次方程組，可先通過去分母或去括號，將其變為標準的二元一次方程組後再消元

5.試一試: 運用加減消元法解下列方程組： 

                                               （3） 

6.探索與思考：在解方程組 時，小張正確的解 ,小李由於看錯了方程組中的C得到方程組的解為 ，試求方程組中的a、b、c的值。

7.小結 ：

加減消元法解方程組基本思路是什麼？主要步驟有哪些？

加減消元法解方程組基本思路：加減消元----二元---一元

主要步驟有：

變形----同一個未知數的係數相同或互為相反數

加減----消去一個元

求解----分別求出兩個未知數的值

寫解----寫出方程組的解   

8.作業

教後感：1.本節課是使學生正確掌握用加減法解二元一次方程組的方法下，通過學生自己的觀察、發現、總結、歸納，探索加減法解二元一次方程組的過程，進一步發展學生的合情推力意識，主動探究的習慣，進一步體會數學與現實生活的緊密聯繫。 

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