機器之心報導
機器之心編輯部
你的線性代數,過了沒?
不論是結構力學還是人臉識別,理工類型的科研,深究之後就會發現到處都是線性代數的身影。這樣一門課程,要是在大一的時候學不好,可是會要命的。
在國內上過大學的理科同學應該都見過《線性代數》(同濟版),就算沒有學過,也是聽過它的大名。作為一名過來人,只能說,晦澀難懂,章節混雜... 即使不少 985、211 走過高考獨木橋的學生,每到期末考試,也要默默祈禱不要掛科。現在想起一些內容:相似矩陣、線性變換、特徵值、特徵向量…… 真是一個頭兩個大。
作為一本大學教材,讓學習者如此後怕,是該考慮一下教材問題了。如今已經畢業多年,沒想到最近在知乎上看到一篇文章《《線性代數》(同濟版)——教科書中的恥辱柱》,點讚量快突破五千。對於這篇文章,大家有時間可以讀一下,看看是不是同意作者的觀點。
線性代數真的很重要,這是很多工程技術人員走上工作崗位的最大感受。好多算法都用到線性代數的知識,就比如現在非常熱門的深度學習,它的底層實現方式用到好多線性代數方面的知識。如果底層基礎打不好,不明白其中的原理,算法實現方式真的很難理解,更不可能去創新了。好的教材才能起到事半功倍的效果。
目前這本教材已更新了好幾版,每次更新的內容看起來也是無關緊要,如果有下次版本更新,還是希望制定教材的老師們聽取一下廣大學生的建議。
同濟版《線性代數》何以引發眾怒?
一直以來,同濟版《線性代數》都是一本頗有爭議的教材,它在知乎上的風評基本都是這個畫風:
很多同學吐槽這本教材結構不合理、內容抽象(甚至讓抽象的東西變得更抽象),整本學下來很難有什麼收穫,還可能會喪失對於數學學習的興趣。
以下是對於這些觀點的簡單總結:
結構編排不合理
很多發帖的同學都指出,同濟版《線性代數》最大的問題就是「結構混亂」,第一章就從「行列式」開始講。對於沒有學過線性代數基本概念的大一同學來講,這種毫無鋪墊的引入方式讓很多同學無法接受。
「兄弟,我們是線性代數課,你不先介紹一下什麼叫線性,什麼叫代數嗎?起手就是 n 階行列式的定義,實力勸退。」——知乎用戶 @清雨影
當然,指出這個問題同學不在少數。在其他關於線性代數的帖子中,我們也發現了關於該書「行列式」編排的吐槽。一位名叫 @李佳繁的知乎用戶發帖表示:「行列式的定義給的很早難道不會讓你感到很突兀和很沒有必要麼?!而且行列式是線性代數中幾乎最為重要的概念之一,一上來就只是用數學語言給他了一個規定,在學線性代數的初期,能體會到什麼?」
還有同學指出,這個問題並不是同濟版《線性代數》所特有的,而是國內線代教材的通病。
在第一章講完行列式之後,該書隨後介紹了矩陣及其運算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型、線性空間與線性變換幾個章節。
除了行列式出現在第一章,其餘的編排不合理之處還包括:
1. 逆序數出現過早;
2. 先講矩陣再講向量;
3. 線性空間放到後面作為選學;
……
總之,這本書的編排順序讓很多同學摸不著頭腦,學完之後也沒有留下深刻的印象,甚至從此失去了對於線代學習的興趣。
長得抽象,教材內容也抽象
除了結構編排的問題之外,「內容抽象」也是這本教材被吐槽的最多的點。
線性代數本身就是一門比較抽象的學科,因此,教材或教師理應通過各種方法幫助學生理解書中的抽象概念,比如運用圖解的形式。但很多同學反映,書中的圖解著實少得可憐,甚至「翻遍了全書,只有三個向量圖解」(引自知乎用戶 @Akiyama Mio)。
還有同學指出,很多概念的引入也是莫名其妙,沒有具體的例子作為支撐,所以很多同學學完之後都不知道自己學的東西有什麼用。
這本《線性代數》教材真的一無是處嗎?有人持相反意見。這部分人認為,每本教材其實都有一定的適用人群,而且看書不一定要遵循書本的編排規律。
還有老師在評論區給出了這本書的原因:節省課時,能夠滿足考研需要。
想打下堅實數學基礎,清華學生是這樣學的
所以,既然線性代數這樣學效率有點低,我們應該用什麼姿勢學習呢?
其實人們一直都在思考這個問題。去年,清華大學將「線性代數」科目的課本改成英文教材就引發了人們的熱議。據介紹,該校改用了麻省理工學院(MIT)數學系教授 Gilbert Strang 的《Introduction to Linear Algebra》,效果怎樣或許一時無法量化,但看起來蠻受歡迎的。
在 B 站上,Strang 老爺子總共 27 個多小時的「線性代數 MIT 18.06」課程也已達到了 73 萬的播放量(其中一個資源的數據),可以說是 B 站最火的英文《線性代數》課程了。當然這門課程在國外也是 MIT 最熱門的課程之一。根據 OCW 官網統計的數據,自 2002 年第一次發布以來,該課程的總訪問量已經超過 1000 萬。
為什麼他的教材、課程那麼受歡迎?從人們的評論中,我們可以總結出幾個關鍵詞:
1. 實用、難度適中。知乎上有個帖子專門討論 Gilbert Strang 的線性代數教材《Introduction to Linear Algebra》。有人表示,「Strang 的教材更加面向實際應用,難度適中,比較注重從實際問題中培養數學直覺,比較適合工程學科學生使用。」
這點相對於國內一些教材區別很大。我們通常接觸到的課本一般是先給出定義,然後是定理和證明方法,很容易讓非數學專業的學生失去興趣。而 Strang 教授的教材則是「先告訴你一些有意思的數學事實,之後告訴你我們怎麼解決那些問題之中較為簡單的(有一部分方法甚至是依靠嘗試和數學直覺),再和你一起探究這麼解決為什麼對,是否存在理論基礎,留一些習題讓你自己去試試它真的是對的,最後再做其他的深入探究,並提煉為定理。」(引自知乎用戶 @李佳繁)
2. 化抽象為具體。對於數學基礎不好的人來說,「線性代數」真的是一門非常抽象的課程。但從大家對 Strang 教授《線性代數》教材的評價來看,比較一致的觀感是「不是很抽象」,甚至可以 「和高中對接」。Strang 教授對線性代數的講解過程中會插入很多例子,能讓學生結合例子理解一些抽象的概念,對非數學專業的學生非常友好。有同學表示,「感覺很多概念不再是死記硬背了」。
此外,整個課程的邏輯也是循循善誘式的,它「不是上來告訴你這樣做是對的,而是一步步引導你讓你理解就應該是這樣子。」
Strang 教授 1934 年生於芝加哥,在加州大學洛杉磯分校取得博士學位,從 1962 年起就開始擔任麻省理工學院的數學系教授,一輩子都在教書育人、筆耕不輟。去年初,他還出版了一本新書《Linear Algebra and Learning from Data》。
今年在新冠疫情期間,全球大多數地區的學生都無法前去教室上課,已年滿 85 歲的 Strang 教授又把自己的線性代數課程視頻更新了一版。
如果對於英文教學不太感冒,有人表示藍以中的《高等代數簡明教程》、丘維聲的《簡明線性代數》也是不錯的選擇。
如果你在自己學習線性代數時有些迷惑,根據課程視頻整理自己的思路可能是效率最高的選擇。
參考連結:
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https://www.zhihu.com/question/265908739?utm_source