不論是結構力學還是人臉識別，理工類型的科研，深究之後就會發現到處都是線性代數的身影。這樣一門課程，要是在大一的時候學不好，可是會要命的。
在國內上過大學的理科同學應該都見過《線性代數》（同濟版），就算沒有學過，也是聽過它的大名。作為一名過來人，只能說，晦澀難懂，章節混雜... 即使不少 985、211 走過高考獨木橋的學生，每到期末考試，也要默默祈禱不要掛科。現在想起一些內容：相似矩陣、線性變換、特徵值、特徵向量…… 真是一個頭兩個大。
作為一本大學教材，讓學習者如此後怕，是該考慮一下教材問題了。如今已經畢業多年，沒想到最近在知乎上看到一篇文章《《線性代數》（同濟版）——教科書中的恥辱柱》，點讚量快突破五千。對於這篇文章，大家有時間可以讀一下，看看是不是同意作者的觀點。
線性代數真的很重要，這是很多工程技術人員走上工作崗位的最大感受。好多算法都用到線性代數的知識，就比如現在非常熱門的深度學習，它的底層實現方式用到好多線性代數方面的知識。如果底層基礎打不好，不明白其中的原理，算法實現方式真的很難理解，更不可能去創新了。好的教材才能起到事半功倍的效果。
目前這本教材已更新了好幾版，每次更新的內容看起來也是無關緊要，如果有下次版本更新，還是希望制定教材的老師們聽取一下廣大學生的建議。
同濟版《線性代數》何以引發眾怒？
一直以來，同濟版《線性代數》都是一本頗有爭議的教材，它在知乎上的風評基本都是這個畫風：
很多同學吐槽這本教材結構不合理、內容抽象（甚至讓抽象的東西變得更抽象），整本學下來很難有什麼收穫，還可能會喪失對於數學學習的興趣。
以下是對於這些觀點的簡單總結：
1、結構編排不合理
很多發帖的同學都指出，同濟版《線性代數》最大的問題就是「結構混亂」，第一章就從「行列式」開始講。對於沒有學過線性代數基本概念的大一同學來講，這種毫無鋪墊的引入方式讓很多同學無法接受。
知乎用戶 @清雨影 表示：「兄弟，我們是線性代數課，你不先介紹一下什麼叫線性，什麼叫代數嗎？起手就是 n 階行列式的定義，實力勸退。」
當然，指出這個問題同學不在少數。在其他關於線性代數的帖子中，我們也發現了關於該書「行列式」編排的吐槽。
知乎用戶 @李佳繁 表示：「行列式的定義給的很早難道不會讓你感到很突兀和很沒有必要麼？！而且行列式是線性代數中幾乎最為重要的概念之一，一上來就只是用數學語言給他了一個規定，在學線性代數的初期，能體會到什麼？」
還有同學指出，這個問題並不是同濟版《線性代數》所特有的，而是國內線代教材的通病。
在第一章講完行列式之後，該書隨後介紹了矩陣及其運算、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型、線性空間與線性變換幾個章節。
除了行列式出現在第一章，其餘的編排不合理之處還包括：
1）逆序數出現過早；
2）先講矩陣再講向量；
3）線性空間放到後面作為選學；
……
總之，這本書的編排順序讓很多同學摸不著頭腦，學完之後也沒有留下深刻的印象，甚至從此失去了對於線代學習的興趣。
2、長得抽象，教材內容也抽象
除了結構編排的問題之外，「內容抽象」也是這本教材被吐槽的最多的點。
線性代數本身就是一門比較抽象的學科，因此，教材或教師理應通過各種方法幫助學生理解書中的抽象概念，比如運用圖解的形式。但很多同學反映，書中的圖解著實少得可憐，甚至「翻遍了全書，只有三個向量圖解」（引自知乎用戶 @Akiyama Mio）。
還有同學指出，很多概念的引入也是莫名其妙，沒有具體的例子作為支撐，所以很多同學學完之後都不知道自己學的東西有什麼用。
這本《線性代數》教材真的一無是處嗎？有人持相反意見。這部分人認為，每本教材其實都有一定的適用人群，而且看書不一定要遵循書本的編排規律。
還有老師在評論區給出了這本書的原因：節省課時，能夠滿足考研需要。
想打下堅實數學基礎，清華學生是這樣學的
所以，既然線性代數這樣學效率有點低，我們應該用什麼姿勢學習呢？
其實人們一直都在思考這個問題。去年，清華大學將「線性代數」科目的課本改成英文教材就引發了人們的熱議。據介紹，該校改用了麻省理工學院（MIT）數學系教授 Gilbert Strang 的《Introduction to Linear Algebra》，效果怎樣或許一時無法量化，但看起來蠻受歡迎的。
在 B 站上，Strang 老爺子總共 27 個多小時的「線性代數 MIT 18.06」課程也已達到了 73 萬的播放量（其中一個資源的數據），可以說是 B 站最火的英文《線性代數》課程了。當然這門課程在國外也是 MIT 最熱門的課程之一。根據 OCW 官網統計的數據，自 2002 年第一次發布以來，該課程的總訪問量已經超過 1000 萬。
為什麼他的教材、課程那麼受歡迎？從人們的評論中，我們可以總結出幾個關鍵詞：
1、實用、難度適中
知乎上有個帖子專門討論 Gilbert Strang 的線性代數教材《Introduction to Linear Algebra》。有人表示，「Strang 的教材更加面向實際應用，難度適中，比較注重從實際問題中培養數學直覺，比較適合工程學科學生使用。」
這點相對於國內一些教材區別很大。我們通常接觸到的課本一般是先給出定義，然後是定理和證明方法，很容易讓非數學專業的學生失去興趣。而 Strang 教授的教材則是「先告訴你一些有意思的數學事實，之後告訴你我們怎麼解決那些問題之中較為簡單的（有一部分方法甚至是依靠嘗試和數學直覺），再和你一起探究這麼解決為什麼對，是否存在理論基礎，留一些習題讓你自己去試試它真的是對的，最後再做其他的深入探究，並提煉為定理。」（引自知乎用戶 @李佳繁）
2、化抽象為具體
對於數學基礎不好的人來說，「線性代數」真的是一門非常抽象的課程。但從大家對 Strang 教授《線性代數》教材的評價來看，比較一致的觀感是「不是很抽象」，甚至可以 「和高中對接」。Strang 教授對線性代數的講解過程中會插入很多例子，能讓學生結合例子理解一些抽象的概念，對非數學專業的學生非常友好。有同學表示，「感覺很多概念不再是死記硬背了」。
此外，整個課程的邏輯也是循循善誘式的，它「不是上來告訴你這樣做是對的，而是一步步引導你讓你理解就應該是這樣子。」
Strang 教授 1934 年生於芝加哥，在加州大學洛杉磯分校取得博士學位，從 1962 年起就開始擔任麻省理工學院的數學系教授，一輩子都在教書育人、筆耕不輟。去年初，他還出版了一本新書《Linear Algebra and Learning from Data》。
今年在新冠疫情期間，全球大多數地區的學生都無法前去教室上課，已年滿 85 歲的 Strang 教授又把自己的線性代數課程視頻更新了一版（課程大綱見下文）。
如果對於英文教學不太感冒，有人表示藍以中的《高等代數簡明教程》、丘維聲的《簡明線性代數》也是不錯的選擇。
如果你在自己學習線性代數時有些迷惑，根據課程視頻整理自己的思路可能是效率最高的選擇。
Strang 教授最新「線性代數」課程大綱
目前，Strang 教授更新的線性代數課程只有 5 個講座，但在此之前，原 2011 年的經典版本是專門為自學人員所設計，已發布在 MIT 的 OCW 平臺上，包含 35 個講座視頻以及 36 個助教輔佐類講解視頻。感興趣的讀者可以結合著看。
下面我們來看看課程大綱：
1、導論：了解線性代數的新方式
Strang 教授在導論中表示，他開設這一門課程的目的是讓大家了解奇異值的概念，這是線性代數中特別重要的一個知識點。他將矩陣分解為兩個或三個部分，以方便我們更深入地了解其性質。
2、矩陣的列空間與向量空間中的基
Strang 教授從矩陣的列空間開始，帶我們走進線性代數的世界。
這節課還講解了列空間與行空間的基：
3、線性代數的 Big Picture
Strang 教授在這一節中講解了 A 的行空間、列空間、零空間、A^T 的零空間，以及這四個子空間之間的相互關係。
4、正交向量
在這一節中，Strang 教授講解了正交向量、正交矩陣及其子空間，其中涵蓋了 Gram-Schmidt 正交化與最小二乘。
5、特徵值與特徵向量
特徵值與特徵向量是深入了解矩陣性質的重要方式之一，它們在工程與研究領域都有很多重要應用。
6、奇異值與奇異向量
在機器學習中，數據矩陣不是方陣，因此它們需要使用不同於特徵值的另外一種方法：奇異值分解（SVD）。奇異值分解用奇異值和向量表示每個矩陣。
最後需要說明的是，除了視頻和 PPT 之外，這門課程的每節課都有相應的文字稿作為參考，可以說對英文聽力不好的同學非常友好。
美國學生學的數學那麼簡單？為何又那麼優秀？
看到這裡，不知大家是否會有個疑惑：為什麼明明被公認為數學基礎好的中國人，到了大學學起數學反而更加吃力了，但看了美國教授的數學課程就能打開「新世界的大門」；而且快樂教育下的絕大部分美國人數學這麼差，為什麼還能出那麼多厲害的教授、數學家和科學家呢？
一位昔日「美高黨」Dave Geng 是這樣說的：「美國給予不熱愛數學的學生最基礎的數學教育，而給予熱愛數學的學生最高水平的數學教育。」
首先，先說「美國給予不熱愛數學的學生最基礎的數學教育」。
美國的每個地區，對於，比如，高中畢業的學生，應該有何種的數學修養，大多是有硬性規定的。比如麻省，每年對特定幾個年級的學生有統考，這個統考的主要內容之一就是數學，數學不過關的，高中是不允許你畢業的。所以基本上每間正規高中，也都對數學水平有最基本的要求才準畢業。據我所知，這個標準大概在會運算簡單的三角函數就可以了。這個水平，以咱們中國的標準來看，確實不算高，而且很多人還都是勉強混過去的。（高中課很鬆。。。）
這種低要求的直接結果就是，美國 99% 的學生（99% 這個數字並不誇張，可能更高）的數學都停留在生活勉強可以自理的水平上。
好了，到了說「給熱愛數學的學生最高水平的數學教育」的部分了。
以高中為例，對於一些數學比較好的不安分分子，為了安撫他們，不給社會添麻煩，學校（不是每間學校都有這個條件）會提供 Advanced Placement 課程，也就是宅男們喜聞樂見的 AP課程。以數學為例，高中最高級的 AP課程，叫做 BC微積分，2005年我上高中的時候，課本是下面這個：
James Stewart 所著微積分教程第 5 版
我們的任務則是把這本書，從頭到尾學得通通透透。值得注意的是，只要你前面的課程成績都好，你幾年級修這個課是沒有限制的，我上學時班上最年輕的同學是一位俄裔美國人，他修此門課程時才上十年級（相當於我們高一），他最後這門課的成績是 A+ ，在我們學校，意味著每次考試的成績，都在 95 分以上，實在是學校「公害」。
這本書的內容，大家都可以查到，人家高一就學這個，各位自詡為學霸的，顫抖了嗎？基本上到學矢量微積分之前，學完了這本書，你做微積分已經應已如四則運算般自如。
說到這就差不多了，中心思想和開始提到的一樣，可能論數學物理的平均水平，美國學生確實遠遠不如中國學生，但是談到「給天才 / 有興趣的人的教育」時，中國的教育制度，則還停留在解放前。而到了大學，這個差距就越拉越大，到了研究生階段，沒有鄙視國內讀研讀博的盆友們的意思，但與美國的「高高等」教育相比，真的無法相提並論。
這樣的制度，從側面看，很大一個好處就是，年輕人可以把多餘的時間和精力，專注到自己喜歡做的事情上。很多比較聰明的宅男，高中最後一年基本沒有什麼數理課程了（全提前學完了），學學哲學，歷史，藝術，玩玩樂團，體育，對成長都有幫助。前面那位俄裔學霸，還是該地區的長跑冠軍。
另外一個好處就是，學霸們可以和學霸們在一起玩一起上課一起耍，不要小看這些宅男們，學霸們聚在一起的能量們是很大的，你沒發現，在你們現在打工的地方，老闆們年輕時都是學霸嗎？
再說說小學數學。
我們所學的數學，很多都是通過套用公式來一遍又一遍的做題來證明公式的正確性。可是美國小學的數學不一樣。
他們通常都是學數學來解決問題，會套用在實際的生活中去學習。比方說，今天學習數字 3。一個消防員站在一棵高高的樹下，樹上有兩隻小貓被困在上面下不來，消防員要去救小貓，怎麼救。首先選一下可以使用的工具，滅火器？捕蝴蝶的網？還是梯子？因為樹高要用梯子，好，幾個梯子才能夠到？一個不行，兩個，三個呢？
再引用一個朋友孩子的例子。他兒子上 3 年級，以我們的眼光粗粗來看，他們學的是：
1）10 以內的加減法
2）1000 以內數字的讀寫
這是什麼級別？好像現在幼兒園中班就已經教這個了 ！
但我朋友花了 3 小時教材，越看越汗，還特地總結了一下他們教的我們沒教的：
1）同樣從 1 數到 10 再 11，我們是單純的數，數到10,100,1000；但他們數到 11 後，開始講進位、十進位，開始引入二進位、五進位等；
2）講 10 以內的數字，區分數字的用途，同樣是數字 3，可以是 3 個房間，第 3 間房，房間長 3 米，他們有什麼不同？
3）在數字的用途一節後需要寫 paper：我們說華盛頓有人口 3，454,456（數字是我隨便編的），這個數字是精確的嘛？還是估算的？為什麼？怎麼證明？
4）有一些邏輯題目，類似於「教授的隔壁是醫生 醫生喜歡藍色」 這種問題，我們孩子是從小作為智力題目來做的，他們則介紹了只需要用到 1-10 這幾個數字的表格，介紹如何將這些條件填入表格，最後如何出答案。
其實還有更多....
總體感覺這個的教材：
1、強調數學的基本概念。
2、強調邏輯思維。同樣是邏輯問題，我們一直強調的是用腦子解決，會的就真是個聰明的孩子，不會就你怎麼這麼笨。而他們從小就拿出來，教孩子用工具解決。國人一向號稱自己是最聰明的民族，但創新實力卻很弱，我相信我觀察到的這一點是原因之一。
3、細緻。我們長大後，看老外的文檔，事無巨細，是不是特別佩服？可為什麼我們從來沒有耐心看下去，寫出來呢？我想，這就是原因，我們都沒有耐心為孩子細緻的解剖這個世界，孩子長大後怎麼能細心？
總之，美國的教育更注重的是在大學前開闊視野，找你所喜歡的、感興趣的領域和學科，所以他們一直到高中都有很多自己選修的課程，很多很多課，看似很輕鬆，學自己喜歡的嘛。當我們經歷過那不想回去的高考之後，全都瞬間解壓，覺得沒什麼事做了，開始玩樂，但美國大學生卻非常辛苦，學習努力，這不光是因為他們的大學不好畢業，而是，大學時期其實才是真正學習的好時光，術業專攻，之前都在尋找培養興趣，拓展視野，找到自己的興趣所在。所以，可見的，他們的數學簡單，其實不是簡單，只是我們學過的很多數學公式，現在生活中也都不會用到了。
所以說「美國學生學的數學比我們簡單」這就是個偽命題，不存在這樣的事情。此外，提到這一點也並不是為了貶低中國的教育制度（中國基礎教育制度優越性是毋庸置疑的），而是為了告誡今後打算從事或已苦苦掙扎在數學學習事業中的各位童鞋們，不管在中國還是美國，想要在數學學術上有所建樹，首先就是要培養興趣，其次就是要刻苦學習，找到適合自己的學習方法！
作者簡介： 武漢維識教育科技有限公司專注於人工智慧、機器人工程、智能製造、雲計算、大數據、區塊鏈、信息安全、網際網路營銷、健康護理等多領域、多層次「新工科」「新職業」人才培養與輸送。公司立足湖北科教大省，輻射全國，提供專業共建、師資培訓、聯合實驗室、科研項目合作、實習實訓就業、職業技能培訓等整體解決方案。同時與諸多產業領軍企業建立戰略合作關係，融合產業先進技術，為金融、醫療、教育、安防、交通、零售、製造、農業等行業用戶，提供多維解決方案。在全國眾多院校、企業、研究機構、投資界等多方合作發展中發揮紐帶作用，為推動相關領域人才培養和產業發展貢獻力量。