英國數學家，普林斯頓大學教授約翰·H·康威(John Horton Conway)證實於美國東部時間4月11日因新冠肺炎在美國新澤西州的住處逝世，享年82歲。
Conway的離世是數學界的重大損失。在緬懷Conway教授的帖子裡，有數學愛好者評論說：「Conway終究遺憾地輸掉了他的生命遊戲」。
生命遊戲（Conway’s Game of Life）是Conway最廣為人知的發明。
生命遊戲是一種元胞自動機（cellular automaton），源自大名鼎鼎的數學家馮·諾依曼在1950年代模擬細胞自我複製的發明。
馮·諾依曼貴為學界泰山北鬥，但他的初代元胞自動機並未引起學界重視。
而Conway的生命遊戲卻在問世之後立即在學界成為爆款。元胞自動機由此成為一門全新的學科，而生命遊戲則為數學家與碼農所熟知。
著名碼農刷題平臺Leetcode（力扣）的題庫中，第289題就是用代碼實現生命遊戲，標定難度中等。
這道題的確不難，因為Conway設計此遊戲的首要原則就是「規則簡潔」。生命遊戲的背景是無盡正方形格子組成的宇宙，其中每一格代表一個細胞。
每個細胞有兩種狀態，生存或是死亡。
細胞的繁殖或死去取決於其與周圍八個相鄰細胞的互動，遵循以下規則：
1． 若一個活細胞周圍活著的鄰居只有0個或1個，則此細胞下回合死亡。（模擬人口過少）
2． 若一個活細胞周圍活著的鄰居恰有2個或3個，則此細胞下回合存活。
3． 若一個活細胞周圍活著的鄰居超過3個，則此細胞下回合死亡。
（模擬人口過剩）
4． 若一個死細胞周圍活著的鄰居正好有3個，則此細胞下回合變為活細胞。
（模擬人口繁殖）
簡潔、合理的規則之下，生命遊戲蘊含著不勝枚舉的有趣「生命形態」。
Conway宇宙中，最簡單的永久生物是一個2×2的「方塊」。由6個活細胞組成的「蜂巢」也是一種簡單永久生物。
若沒有外來因素影響，永久生物將持續生存下去，其形態不會改變。
「方塊」 「蜂巢」
除永久生物外，另有一種周期性改變形態的生物。「脈衝星」是其中最漂亮的之一。
「脈衝星」有三種不同的狀態，每三回合循環各出現一次。
「脈衝星」
比周期型生物變化更頻繁的，是「飛船型」生物。
飛船型生物不僅周期性改變其形狀，且位置也會持續變化。
舊的細胞不斷死去，而新的細胞在新的位置持續重生。
這讓人想起那個古老的哲學問題「忒修斯之船」：如果忒修斯之船上的木頭被持續替換，直到船上所有的木頭都不是原本的木頭，那麼這艘船還是「忒修斯之船」嗎？
「重型飛船」
Conway的生命遊戲曾令無數極客沉迷於其中。不過，對於Conway本人而言，生命遊戲只是他數學研究結出的，相對不重要的成果之一。
實際上，Conway的研究成果遍及數論、有限群理論、扭結理論、編碼理論、組合博弈論等數學分支。
在今天，數學各子領域高度專業化，大部分數學家一生的研究只局限於一兩個領域。像Conway這樣研究橫跨多個不相關領域的數學家，實為鳳毛麟角。
因此，Conway被廣泛讚譽為「數學魔術師（mathemagician）」。
Conway很早就展露出數學研究的超凡天賦，但他在年輕時也曾陷入迷茫。
在20多歲時，Conway就對一些形式特別的趣味數學問題感興趣，卻擔心其他數學家將其研究評價為「平凡無奇」。
平凡無奇，即trivial，這是數學工作者絕不想聽到的最低評價。因此，Conway在相當長的一段時間裡，研究進度逡巡不前。
數年磨刃之後，Conway以一篇關於有限群的嚴肅論文一鳴驚人，在學界聲名鵲起。但Conway很快意識到，這世界上數學家總共沒有多少，因此他們的評價也沒有想像中的重要。那麼，為什麼要在意他人類似「不夠嚴肅」、「平凡無奇」的評價呢？
認清「他人的評價不重要」之後，Conway決定放飛自我，優先研究自己感興趣的方向。
生命遊戲是Conway投入思考的方向之一，不過這只是一盤開胃菜。
在發明生命遊戲的同一時期，也就是1970年前後，Conway發明了一套後來被稱為「超現實數（Surreal Number）」的數字體系。
超現實數與名為「超現實主義」的藝術流派沒有直接關聯，只是超現實數的問世本身就是一件帶有「超現實」色彩的事件。
在複數與超複數（如四元數）等數字體系建立後，數學界在很長一段時間內認為，數字體系的發展已基本走到盡頭。而Conway的超現實數，可謂於無聲處起驚雷。
比超現實數的發明本身更令人驚奇的是，Conway最初的目的並不是發展新的數字體系，而是研究一門來自東方的古老遊戲——圍棋。
在劍橋大學學習和工作期間，Conway接觸到圍棋，並沉迷於其中。
劍橋大學1985年出版的《數學人》一書中記載，在創造生命遊戲期間，「Conway與身邊的研究生一起工作，一面寫滿了數以畝計的草稿紙，一面手中把玩撲克牌、硬幣、貝殼、圍棋子，直到他們找出能夠平衡生與死的遊戲規則」。
或許是圍棋簡潔的規則啟發了Conway，使得他創造的生命遊戲同樣簡潔、美麗。
圍棋與生命遊戲的關係我們只能從一些隻言片語裡推斷，不過圍棋啟發了超現實數的發明，這一點確鑿無疑。
Conway在研究圍棋的官子（即終局階段）時領悟到，全局性的圍棋官子問題可以被視作若干局部官子問題的總和（例如下圖）。
而局部性的官子問題可以被進一步抽象為數字，超現實數則在此認識的基礎上應運而生。
Figure 1 圍棋官子問題
超現實數的基本形式是G={L|R},可以被視作像圍棋這樣雙人回合制遊戲的抽象。
L代表執黑棋方下一手導致所有可能結果的集合，而R則代表執白棋方下一手導致所有可能結果的集合。
超現實數具體到圍棋上，Conway考慮的是圍棋規則的一種變體——無停著圍棋(No-pass Go)。
常規的圍棋允許棋手在沒棋下的時候停一著，而無停著圍棋則不允許停著，這會導致一些微妙的區別。
第一個被創造的超現實數是0 = { | },L和R都是空集，相當於黑白雙方都沒有合法著數可下的局面，見下圖：
0 = { | }
現在若輪到黑方走棋，那麼根據規則，黑棋不能在C、D處白棋的「眼」裡自殺。
而圍棋的基礎知識告訴我們，兩隻真眼才能活棋。所以黑棋也不能自填僅有的A、B兩隻眼，因此黑棋無棋可下。
同理，若輪到白棋下，白棋也無棋可下。因此，{ | }這個局面的結果被指定為0。其含義是，此局面下，輪到哪那一方下棋，那一方就必輸無疑。
緊接著0 = { | }之後，下一組超現實數是1 = { 0 | }，和-1 = { | 0 }。
在圍棋盤上，前者可以用下圖表示。此局面下，黑棋有A、B、C三個眼，而白棋只有D、E兩個眼。
若輪到黑方走棋，黑方可以走A、B、C的任意一點，結果都等價於上圖的0 = { | }。
而若輪到白方，她沒有任何可行的選項。因此，{ 0 | }這個超現實數，豎線的左邊代表黑方有可行著法，並導致「0」這一結果；而豎線右邊代表白方沒有可行著法，因此留空。
{ 0 | }等於1，其含義是黑方比白方多1個可行的選項。換句話說，無論輪到誰走棋，這個局面都是黑方勝。
1 = { 0 | }
-1 = { | 0 } 是 1 = { 0 | }的相反數。
在圍棋盤上，前者相當於在後者的基礎上交換了黑白子，如下圖。
{ | 0 }等於 -1的含義是，白方比黑方多一個可行的選項。因此無論輪到誰走棋，此局面都是白方勝。
-1 = { | 0 }
到目前為止，三個超現實數，0、1、-1已經被創造出來，但這還沒有超出我們熟悉的整數的範圍。
而下一個超現實數，則不再屬於整數，也不是分數、無理數，甚至不是複數。
這個數是 * = { 0 | 0 }。其對應的圍棋局面如下圖。
與0 = { | }的局面相比，此局面只多出C一處空點。這個點在圍棋術語裡叫做「單官」。
若現在輪到黑走棋，則A、B、D、E仍是不可行的著法，只有走C，其結果和 0 = { | }一樣。
若輪到白走棋，白方也只能走C，結果還是0 = { | }。所以，此局面被記作{ 0 | 0 }，即黑、白雙方的唯一策略均指向「0」這個局面。
{ 0 | 0 }的結果與{ | }正好相反：輪到黑方下則黑勝，輪到白方下則白勝。
Conway因此用「*」這個特殊符號記錄此結果，指定 * = { 0 | 0 }。
* = { 0 | 0 }，「單官」。
總結四個基本的超現實數，我們可以得到下表：
就像普通的數字一樣，超現實數也可以進行四則運算。
比如超現實數的0+1=1; 1+(-1)=0, 1+1=2; 這些運算的結果，有興趣的讀者可以自行驗證。
筆者潘達在這裡要介紹的是一個特殊的運算結果，* + * = 0。這個式子看上去很抽象，不過放到圍棋盤上就容易理解了。
前文提到，* 相當於一個單官，那麼 * + * 就相當於兩個單官，可以用下圖表示：
* + * = 0
棋盤上有C、D兩處單官，是僅有的可下之點。
無論是黑棋還是白棋先下，結果都是黑、白各佔一點。因此最後總是回歸到「0」這個局面（上圖右）。左圖是 * + *；右圖是0，兩者等價。因此用超現實數的語言總結，* + * = 0。
在上述四個基本的超現實數的基礎上，我們可以遞歸定義出分數、無理數、無窮小量、無窮大等各種超現實數。篇幅所限，本文在此不再展開介紹。
Conway的超現實數理論脫胎於圍棋，其適用範圍也遠遠超過了圍棋。
在超現實數的基礎上，Conway與同行一起開創了組合博弈論這一數學領域，用於研究包括圍棋在內的一大類數學遊戲。
其中，與Conway一道創立組合博弈論的Elwyn Ralph Berlekamp教授，在超現實數的基礎上發展出一套專門適用於圍棋官子的數學理論。
像下圖這道Berlekamp設計的官子問題（輪白棋下），曾經難倒過中、日、韓三國的職業棋手，也讓新時代的圍棋AI無從下手。
而Berlekamp的理論，不僅能夠成功解出此題，並且能夠給出嚴謹的證明。
Berlekamp給出的解題思路
AI給出的錯誤解答
很遺憾，Berlekamp教授已於2019年4月逝世，Conway教授也在前天離開人世。兩位大師的離去是學界的重大損失，不過，我們或許不必為此過度傷心。
有一句網絡流行語說得好，「男人至死是少年」。
Conway作為一位天才數學家，內心可以強大到無視世俗的評價，而醉心於研究常人眼中的「玩物」，踐行了超越現實的遊戲人生態度。
而Conway前兩年的採訪也可確證，他不會因為死亡的臨近感到緊迫，或因為無法看到重大數學未解之謎的最終解決感到遺憾，因為他的一生都已獻給他所熱愛的研究。
在緬懷Conway教授的帖子中，有網友以Conway教授創造的生命遊戲和Conway的人生態度撰寫了一則墓志銘，筆者以此結束本文。
「Conway創造了生命遊戲。而因為新冠肺炎疫情導致的社交距離限制，名為Conway的元胞沒有足夠多的鄰居，遺憾地退出了生命遊戲。」
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