提到《二元一次方程組》這一章，有些老師會說：
「方程無非是概念、解法和應用這三部分嘛，基本技能加一些變形技巧，實際問題多練練，沒什麼難的，就不用你來點撥啦！」這一章內容對於學生來說確實不算難，但我要給老師們提個醒：
這一章無論是從代數還是幾何，都是重要的認知樞紐，在整個初中數學課程中有不可取代的地位。
為什麼這麼說呢？我有以下幾個觀點：
代入消元和加減消元不僅應用在解方程組，消元是一種廣泛應用的代數變形策略，代入、加減不一定是為了消元；
與二元一次方程組有關的實際問題更加去題型化，不能再像講實際問題與一元一次方程那樣按題型分類訓練，那樣不利於發展學生的模型思想；
二元一次方程組的解有幾種情況，這個探究可以也應該結合圖形來認識。
以上觀點其實把如何教好《二元一次方程組》這個問題分解成了三個問題：
接下來我們就分別談一談這三個問題。
01
如何讓學生掌握消元的方法
而不只是技能？
在這一章，二元一次方程是一個容易被忽視的對象。但如果你教過函數或帶過中考，你一定知道用函數觀點看方程對於初中階段有多麼重要。
作為二元一次方程的第一次登場，此處怎能無掌聲？
為什麼老師們不容易重視二元一次方程呢？
因為方程組的解法才是這一章的主角嘛！
但是仔細想想，代入消元法的第一步變形，難道不正是對二元一次方程進行變形嗎？
有很多學生會在這裡出現問題：移項符號搞錯，分不清誰應該寫在等號左邊……這些都會成為方程組解法教學的絆腳石。
怎麼解決這個看似小、實則痛的問題呢？在二元一次方程和它的解這裡做一件事：
練習把二元一次方程改寫成用x表示y的形式。比如：
這樣做有什麼意義呢？
至少有3個重要意義：
關於代入消元法和加減消元法的技能教學層面，這裡就不多說了，提醒各位新教師用板書對一些步驟加以規範。
比如，代入後的部分要用括號括起來，如果前面係數是負數就更要小心：
再比如，加減消元符號容易出錯的地方要圈出來：
以上是為了在代數教學中培養學生的「整體感」。
在解方程組的過程中，我們也可以設計一些方程的特點，相應產生的一些消元技巧，也有助於培養學生在消元方法中建立「整體感」，比如：
整體代入
加減化1
整體換元
比例換元
每一個技巧，不在於立刻掌握，但都要讓學生體會：
代入和加減不一定是為了消去未知數，它們還可以作為簡化問題的變形手段。
這樣，學生對消元的理解就不是停留在代入消元、加減消元這樣的技能層面，而是作為一種方法，在代數變形中有目的地選擇變形策略。
02
如何讓學生感悟模型思想
而不是訓練題型戰術？
說完從技能到方法的教學，咱們再來說說從訓練戰術到感悟思想。
實際問題在每一章方程、函數教學中都會遇到，其意義是持續感悟模型思想，也就是說讓學生體會，學到的知識是可以解決生活中的問題的。
在一元一次方程的單元教研中，我們從「審」、「設」、「列」的角度重點介紹了如何教會學生列方程。
在一元一次方程那一章，學生還需要一點時間完成從算術到方程的過渡，為了讓學生感受不同類型的實際問題在列方程過程中的特點，我們可以採用實際問題分類教學的策略。
但分類的最終目的不是分，而是「合」，也就是：
體會方程是刻畫現實世界數量關係的有效模型。
具體說來就是三句話：
用「審」發現數量關係，
用「設」刻畫現實世界，
用「列」建構有效模型。
在二元一次方程組這一章，我們還是要讓學生感悟模型思想，那麼這和教一元一次方程時有什麼不同呢？
我的理解是，弱化「題型」，強化「模型」。
怎麼強化呢？
學生應該對「審」「設」「列」這三步，分別形成三個更深入的理解，或者說是解決問題的策略。
列：當題目中有較複雜的數量關係時，可以試著用表格梳理清楚數量關係，再列方程。這一點在一元一次方程中也提到過，表格的作用不只是幫助我們整理信息：
有時還能通過整理信息，發現隱藏的等量關係：
設：設誰是未知數，取決於相關數量關係中誰需要被表示並參與運算。
什麼意思呢？
比如：
如何翻譯「怎樣劃分」？總產量與單位面積產量、面積這兩個量有關，單位面積產量給出了比值，但各自的面積是未知的，需要被表示；但面積又是用長×寬來表示的，如果豎著切一刀，那麼兩塊長方形的寬都是AD，而長可以分別設成x和y，這樣面積就可以用含x和y的式子表示。再比如：
我們可以設銷售款為x，但是根據題目條件，銷售款是由單價×銷售量得到的，而單價是已知的，因此設銷售量為x更好。審：等量關係不明顯的一個原因是表示同一個量的兩種形式都含有未知數，這意味著等量關係隱藏在更一般的數量關係或變化規律中。
什麼叫更一般的數量關係或變化規律呢？
比如圖中已知的線段可以用上下兩種不同的方式表示：
再比如隨著時間變化，勻速帶來的相同時間間隔的距離是相等的：
為了滿足老師們的教學需求，我們特意新設計製作了以上6節實際問題與二元一次方程組的課程，包含了人教、北師版教材中的大部分例題，供老師們在備課和教學時使用。
03
如何讓學生發展以形助數的視角
而不是給出數形結合的答案？
我們前面剛講完平面直角坐標系，學生知道它是數形結合的工具。
而二元一次方程組是一個代數研究對象，這意味著，我們可以用平面直角坐標系這個工具，探索這個代數對象是否有幾何意義。
從數到形的關鍵，就是二元一次方程的每一個解，可以用有序數對表示，於是就對應了坐標系中的一個點。
這是多好的實踐數形結合的素材啊！
於是人教版教材安排了這樣一個數學活動：
有了這樣的對應，再研究二元一次方程組有唯一解、有無數解和無解的情況，與兩條直線的位置關係相對應，學生獲得頓悟時刻，怎能不感嘆數學之美妙！
我們經常跟學生說，這裡體現了數形結合思想。
有一次我去觀摩一位老師講了一節平面直角坐標系的課，在最後複習的時候，她問了這樣一個問題：這節課我們學到了什麼數學思想啊？學生齊聲回答：數形結合！老師們，數學思想是在經驗的基礎上感悟的，不是靠標準答案喊出來的，這樣的回答沒有任何意義。
那麼怎樣才能把數形結合這樣的數學思想「教」出來呢？
我們可以這樣問：
你看，沒有一個問題要求學生回答「數形結合」，但對每一個問題的思考，都有從數到形的過程。
數形結合是一種研究問題的視角。
在上面這個案例中，對這種思想的感悟，體現在學生是否能夠意識到，當我們遇到一個代數問題時，可以考慮用平面直角坐標系這樣的工具，轉化為幾何問題來解決。
結語
好了，我們總結一下今天的知識。
1、代入和加減不一定是為了消去未知數，它們還可以作為簡化問題的變形手段。
2、對於實際問題與二元一次方程組的教學，可以重點讓學生形成三個理解：
列：當題目中有較複雜的數量關係時，可以試著用表格梳理清楚數量關係，再列方程。
設：設誰是未知數，取決於相關數量關係中誰需要被表示並參與運算。
審：等量關係不明顯的一個原因是表示同一個量的兩種形式都含有未知數，這意味著等量關係隱藏在更一般的數量關係或變化規律中。
3、數學思想不是練出來或喊出來的，而是在實踐經驗的積累上悟出來的。
最後，我把對這一章的教學建議總結成一句順口溜：
二元變形表其一，
消元化歸練整體，
弱化題型重模型，
數形結合破玄機。