儘管教書已經七八年，但是在備課的時候，還是常常忘記老同事的告誡：「別以為課本上的知識很簡單，那是對你簡單，對學生可難了！」
我曾經在課堂上幫學生計算圓錐的側面積，學生折騰了好久才算出來。隨後出現了一道要求扇子面積的題目，學生立刻就蒙了，半天都下不了手。我也很納悶：「不就是計算扇形面積嗎！」
（1）
這裡涉及一個問題：為什麼新的概念會讓學生難以理解，尤其是抽象概念，而且理解了以後又很難應用到新的問題中去？
對此，認知科學家給出的答案是，學生應該通過聯繫已知的概念來理解新的概念。理解新的概念，其實就是讓正確的已知概念放入工作記憶，並與新的概念重新組合的過程。
比如，你不知道「等腰三角形」的意思，但查詢發現其定義是「有兩條邊相等的三角形」。如果你知道什麼是「兩條邊相等」和「三角形」，你就能理解「等腰三角形」的意思。
已知概念和新的概念聯繫越緊密，理解也就越容易。然而，有時對於抽象概念，即使解釋了其定義，還是難以理解。這時我們需要具體的實例，因為大腦不喜歡抽象的事物，它更傾向於選擇具體的事物。
比如，你想理解什麼是「圓」，查到其定義是「到定點等於定長的所有點的集合」。看了定義，你是不是感覺等於沒看？如果我告訴你，像車輪和呼啦圈那樣的就是圓，你一下子就明白了。
實例的作用是把抽象的概念具體化，越常見的實例對抽象概念的理解越有幫助，最好是常識，不常見的例子往往無濟於事。
比如我和你說：「不同的測量方式提供了不同種類的信息，順序量表提供等級，等距測量對數值間的差別有意義。舉個例子，莫氏礦物硬度是一個順序量表，而成功的羅珠模型是一種等距測量。」
聽完以後，你會不會覺得我是個傻×?因為在你的常識裡，不大可能會出現莫氏礦物硬度和羅珠模型，所以儘管我把它們作為實例，但你還是無法理解什麼是順序量表和等距測量。
當我們給了學生一個解釋和一系列實例的時候，學生真的理解了嗎？通常沒有，理解還面臨兩個問題。
（2）
一個問題是，即使學生「懂了」，理解也是有深淺之分。一個學生理解得很淺顯，另一個學生則理解的很透徹。
很多教師都有相同的經歷：你問學生一個問題，學生複述你的話或者課本上的解釋，一字不差。答案肯定是正確的，但你還是隱約覺得這個學生只是機械地記住了答案，並不明白自己在說什麼。
這個現象反應了理解的第一個層次，機械記憶。機械記憶表示你對知識一點也不了解，只能逐字死記。有時候機械記憶的確有效，比如語文中的詩詞默寫，即便不理解，但只要記得就容易拿滿分。可是隨著不理解的知識越來越多，機械記憶也會容易出現混亂。比如學生在剛學習「兩直線平行，同位角相等」的時候，幾何語言寫得溜溜的；時間一長，再次遇到平行，就會出現「因為AB//CD，所以AB＝CD」這樣的笑話。顯然這是機械記憶惹的禍。
比機械記憶更常見的是理解的第二層次，表面知識。表面知識指的是對知識有一點了解，但又局限。我們已經說過學生通過聯繫已知概念理解新的概念，如果他們的認識很淺顯，這一過程就無法進行下去。他們的知識需要依賴老師提供的類比或解釋，而且在已提供的環境下才能理解。比如有的學生知道勾股定理是直角三角形的一個性質，也知道「a+b=c」，但他對勾股定理的認識也到此為止。當他遇到下面的題目時，他需要老師的提示才能理解為什麼這道題是「a+c=b」，而不是「a+b=c」。
表面知識之後，是理解的第三層次，深層知識。我們希望學生能夠把知識理解透徹，其實就是希望學生的理解能夠達到深層知識這個層次。
但為什麼學生還是只有表面知識呢？一個明顯的原因是學生上課不專心。比如你想用「手機話費」來演示如何求函數關係式，但學生想到的卻是自己周末打王者時發動了幾個技能。
另一個原因是深層知識比表面知識更難獲得。深層知識不僅表示理解抽象的概念，還包括實際的例子，以及它們之間的聯繫。
比如你準備向學生介紹政府的概念，你希望學生理解的重點，是一群一起生活或工作人需要設定規則。為此，你選用了兩個常見的例子，課堂和家庭，來幫助學生理解。
機械記憶的學生可能會說：「政府就像課堂，它們都有規則。」他完全沒有理解兩個團體存在的共同點。表面知識的學生會說：「政府就像課堂，由一群需要規則才能正常工作的人組成」。如果你再問：「政府和課堂有什麼不同的地方？」他可能就卡住了。深層知識的學生不僅能回答這些問題，他還可以將類比擴展到其他團體，比如臨時湊在一起打籃球的幾個朋友。
（3）
當學生理解一個抽象概念的時候，我們就會希望他能夠遷移，也就是把已有的知識應用到新的問題中去。這是理解要面臨的第二個問題。
有時候，學生明明會做一道題，可是再給一道換湯不換藥的題目，他又不會做了，這是為什麼呢？
先來看兩個問題：
小明在給他的草地撒種，草地寬10米，長20米。請問草地多大？小明在給他的牆刷油漆。牆長12 米，高5米。請問牆多大？
第一道題和播種有關，第二道題和刷漆有關，心理學家把這種差異成為表層結構。從解題的角度看，兩道題目都是在計算一個長方形的面積，也就是「長×寬」，它們的解題步驟是相同的，因此，這兩道題有著相同的深層結構。
我們希望會解第一道題的學生也會解第二道題，也就是說，我們希望學生把解第一道題的知識遷移到第二道題中。顯然，對遷移有幫助的，不是問題的表層結構，而是深層結構。識別問題的深層結構，是知識遷移的關鍵之一。
為什麼我們不善於遷移？第一個原因和我們怎樣理解事物有關。當我們閱讀一個問題的時候，大腦會選擇合適的已有知識，幫助我們理解問題中的概念，合適的已有知識常常和表層結構有關。這可以讓我們更快地理解問題的表層結構，但也讓我們難以辨認問題的深層結構。
有一個經典的實驗，要求大學生解答下面的腫瘤問題：
假如你是一名醫生，有一個病人胃裡長了惡性腫瘤。由於條件所限，不能給病人做手術，但如果不摘除腫瘤病人會死亡。有一種特殊的射線可以殺死癌細胞。如果想把腫瘤一次性去除，使用的射線強度會過大，病人未病變的器官會受到影響。射線強度低的話，對正常器官沒有影響，但對癌細胞也沒有效果。請問怎樣在殺死癌細胞的同時，保護正常的器官呢？
大多數學生解不出來，實驗者便告訴他們答案：將幾束低強度射線從不同角度聚焦在腫瘤上，這樣正常的器官就不受影響，但射線的強度相加足以殺死癌細胞。
確定學生理解了答案後，實驗者給他們看下面的軍隊問題：
一個小國家的獨裁皇帝住在城堡裡，這個城堡在國家的中心位置，有很多條道路呈輻射狀向外延伸。一個將軍計劃攻陷城堡，解放老百姓。如果他將全部兵力集中進攻，那麼一次就可以攻下城堡。但線人告訴將軍，皇帝在每條路上都埋了地雷，如果通過的人數少，地雷不會引爆；如果通過的人數一多，地雷就會爆炸。這不僅會破壞道路，還會摧毀附近的村莊。請問將軍應該如何進攻？
這兩個問題有著同樣的深層結構：如果人數太多會帶來損失，將軍可以分散兵力從各個方向進攻。答案可能很明顯，但被試的大學生沒有意識到。只有30%的被試者做對了第二道題，儘管他們剛剛才看到一個大同小異的問題和答案。因為大腦理解事物的習慣讓他們覺得，第一道題和腫瘤有關，第二道題和軍隊有關，兩者怎麼會有聯繫呢？
既然如此，如果在閱讀的時候，直接告訴學生要思考深層結構，問題不就解決了嗎？不能。這個辦法的缺點在於，問題的深層結構不容易發現，更糟糕的是，一個問題往往不止一個深層結構。比如你在讀上面的軍隊問題時，很難同時思考：它的深層結構符合勾股定理嗎？是在找化學反應嗎？是不是能量守恆定律？要理解深層結構，你不僅需要理解問題的所有方面是怎樣聯繫在一起，還要分清主要和次要的方面。
上述實驗中，在回答了腫瘤問題後，實驗者告訴被試的大學生：「這個腫瘤問題可能對解答軍隊的問題有幫助。」這時幾乎所有人都能解答第二道題。兩道題的類比很容易看出來：城堡就像腫瘤，軍隊就像射線，所以問題的根源是人們沒有意識到這兩題有相同的深層結構。
有些時候，即使學生知道一個新的問題和已解答的問題有同樣的深層結構，遷移的效果也不盡如人意。記得有個同事說過：「有些知識點沒必要備課，讓學生自己看課本上的例題，然後做習題就好了。」其實這樣做的效率通常不高。想像一下，一個學生知道他在解的問題與函數關係式有關，課本上也有例題及其解題過程。儘管例題和在解的問題表面上看不同，一個是關於雜貨店的存貨，一個是關於手機話費，學生也明白自己應該透過表層結構發現深層結構，但是要想參考書中例題的思路，他必須理解這兩個問題是如何分別映射到深層結構的。這就像他理解上面的腫瘤問題，也知道它的答案，但當他遇到軍隊問題時，他就不知道軍隊是對應射線、腫瘤還是正常器官。因此，當一個問題有很多組成部分，解答步驟很多時，遷移常常因為找不到已解答的問題到新問題的映射而難以實現。
識別問題與深層結構之間的對應關係，是遷移的第二個關鍵。
（4）
既然理解新的概念不容易，即使理解了也不容易遷移到新的問題中去。那麼，我們可以如何應對呢？
要想深層理解新的概念，關鍵在於正確地聯繫合適的已知概念和實際例子。因此，可以選擇如下策略：
選擇合適的已有概念選擇合適的實際例子構建正確的聯繫方式
比如，理解三角形的高，我們可以選擇「三角形」和「點到直線的距離」作為已有概念，確保學生先了解。接著，選擇足夠多的三角形作為實例，不僅要有銳角三角形，還要有直角三角形和鈍角三角形；三角形不僅要正著放，還要倒著放和側著放。最後，幫助學生構建正確的聯繫，讓學生理解「三角形的高就是頂點到其對邊的距離」；同時，通過練習在各種三角形上畫高，比較各種三角形的高的不同點，從而理解高的概念。
理解概念之後，是知識的遷移。要想提高遷移的概率，關鍵在於識別問題的深層結構，以及找到問題與深層結構之間的對應關係。因此，在理解的基礎上，可以選擇如下策略：
單題練習形成深層結構題組練習鞏固深層結構
比如，當學生遇到下面的題目：
一輛汽車計劃從A地出發開往180千米遠的B地，事發突然，加速為原速的1.5倍，結果比計劃提前40分鐘到達B地，求原計劃平均每小時行駛多少千米？
解答之後，我們可以提出問題：「這道題考察了什麼知識點？」學生經過思考和提示，得出這道題主要考察分式方程的應用，列方程的時候，還涉及到「速度=路程÷時間」的等量關係。這樣，學生就能初步形成這道題的深層結構。
為了鞏固對深層結構的理解，我們可以設計下面的題組練習：
為了繼續美化城市，計劃在路旁栽樹1200棵，由於志願者的參加，實際每天栽樹的棵樹比原計劃多20%，結果提前4天完成，求實際每天栽樹多少棵？甲、乙兩名學生練習計算機打字，甲打一篇1000字的文章與乙打一篇900字的文章所用的時間相同．已知甲每分鐘比乙每分鐘多打5個字，問：甲、乙兩人每分鐘各打多少個字？某商店用1050元購進第一批某種文具盒，很快賣完．又用1440元購進第二批該種文具盒，但第二批每隻文具盒的進價是第一批進價的1.2倍，數量比第一批多了10隻．求第一批每隻文具盒的進價是多少元？
學生解答以後，我們可以引導其觀察這幾道題的相似點，讓學生總結出它們都是考察分式方程的應用，而且列方程的時候，還涉及到「單位量=總量÷數量」的等量關係。這樣，學生就能強化對這類題目的深層結構的理解，為以後的遷移增大了概率。
最後想說的是，儘管深層知識是你想要達到的目標，但是你應該清楚學生能達到的層次，以及他們多久才能達到這一層次。深層知識來之不易，是反覆訓練的結果。如果一個複雜的概念，你的學生在短時間內還沒有深層的理解，你千萬不要洩氣。表面知識比一無所知要好得多，再說表面知識是通向深層知識的臺階。你的學生可能需要好幾年才能獲得真正的深層理解，你能做的就是帶領他們走下去，並掌控好前進的節奏。
教育是一門需要等待的藝術。
參考資料：
《為什麼學生不喜歡上學?》作者：(美) 威廉厄姆Willingham.D.T.) 出版社: 江蘇教育出版社 2010年
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