一元一次方程及其解法

提要

一元一次方程是方程的起始內容，是初中數學的基礎，學習時應根據具體問題中的數量關系列出方程，明確解方程的基本思想是轉化，而轉化的依據是等式的基本性質。要正確解一元一次方程，必須掌握解一元一次方程的一般步驟，並能根據題目的特點靈活掌握。

知識全解

一．一元一次方程

（1）方程：含有未知數的等式稱為方程

（2）一元一次方程：只含有一個未知數（元），並且未知數的次數都是1的方程稱為一元一次方程。

判斷一個方程是一元一次方程，需要注意以下三點：

（1）一元一次方程是只含有一個未知數的方程

（2）一元一次方程未知數的指數是1，並且未知數的係數不為0

（3）如果等式中出現分數形式，分數的分母中不能含有未知數。

二．方程的解和解方程

方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數的值稱為方程的解，只含有一個未知數的方程的解也可以稱為方程的根。

解方程：求方程解的過程叫做解方程。

三．等式的基本性質

性質1：等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等

用式子表示：如果a=b，那麼a±c=b±c。

性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等

用式子表示：如果a=b，那麼ac=bc，如果a=b(c≠0)，那麼a/c=b/c

注意：

（1）用等式的性質1變形等式時，必須是兩邊同時相加或相減，不能漏掉一邊沒有變形

（2）用等式的性質2變形等式時，應注意不能在兩邊同除以0，因為0不能作為除數

（3）等式還有傳遞性，即若a=b,b=c,則a=c；互換性，即若a=b,則b=a

運用等式的性質還要把握兩個要點：一是等式兩邊是指兩邊的整體，兩邊的各項；二是兩邊發生變化相同，即兩邊各項發生的變化相同。注意，無論應用等式的哪條性質，等式兩邊都要發生相同的變化，否則等式不成立。等式的性質是等式變形，方程變形及解方程的依據。

四．一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步驟如下：去分母，去括號，移項，合併同類項，係數化為1，把一個一元一次方程「轉化」成x=a的形式。根據題意可交換步驟的順序，去分母時注意沒有分母的項也要同乘分母的最小公倍數，移項要改變符號，最後要形成檢驗的習慣。

具體做法如下表所示

方法點撥

類型1 識別一元一次方程

A.1/3 B.1 C.3 D.不存在

【分析】根據一元一次方程的定義，應滿足m=1

【解答】選B

【方法總結】理解一元一次方程的概念時要把握好三點：只含有一個未知數；未知數的次數是1；未知數的係數不為0

例2 關於x的方程（a+2）x|a|-x+3=0是關於x的一元一次方程，求a得值

【分析】由一元一次方程的概念可知|a|=1或|a|=0。當|a|=1時，a=±1,a=1時，方程為3x-x+3=0；a=-1時，方程為3=0，不符號題意；當|a|=0時，a=0，方程為2-x+3=0，即5-x=0

【解答】依題意，得|a|=1，a=±1；或|a|=0時，a=0

當a=1時，方程為3x-x+3=0，即2x+3=0，符號題意

a=-1時，方程為x-x+3=0，即3=0，不符合題意，捨去，所以a=1。

當a=0時，方程為2-x+3=0，即5-x=0。符合題意。

【方法總結】當a=-1時，方程（a+2）x|a|=x，但原方程為x-x+3=0，即3=0不含未知數，它不是方程，應捨去。

類型2 利用等式的基本性質進行等式的變形

例3 把方程4y+6=-5y-3變形為9y+6=-3，其依據是（）

A. 等式的性質1 B.等式的性質2 C.移項 D去括號

【分析】根據等式的基本性質，對原式進行分析即可

【解答】把方程4y+6=-5y-3變形為9y+6=-3，其依據是等式的性質1，故選B

【方法總結】(1)方程變形時，兩邊必須同時進行完全相同的四則運算，並且除以同一個數時，這個數不能為0

（2) 熟練掌握互為相反數的兩個數之間的關係和互為倒數的兩個數之間的關係，有助於等式的靈活變形。

類型3 解一元一次方程

係數化為1，得：x=-8

【方法總結】多重括號去括號時，順序通常是先裡後外，但根據數字之間的計算特點，可以靈活處理運算順序，使計算更簡捷。

【分析】這是一道解帶分母的方程的題目，所以要先去分母，再去括號，最後移項，化係數為1，從而得到方程的解。

【解答】去分母，得：4(5x-4)-3(x-1)=12-(x+1)

去括號，得：20x-16-3x +3=12-x-1

移項，得：20x-3x+x=12-1-3+16

合併同類項，得：18x=24

係數化為1，得：x=4/3

【方法總結】去分母所選得乘數是所有分母的最小公倍數，方程中不含分母的係數的整數項不應漏乘；另外，去分母時要合理地添括號。

類型4 利用一元一次方程求字母參數的值

解得a=6

【方法總結】正確理解同解得定義及方程的解的定義是解題的關鍵。同時，注意觀察每個方程的特徵，能解的先求出解，之後再逐步往下進行，最後求出式子的值。

中考連結

考點1 根據相等關系列方程

例1 某村原有林地108公頃，旱地54公頃，為保護環境，需把一部分旱地改造為林地，使旱地佔林地面積的20%，設把x公頃旱地改為林地，則可列方程（）

A.54-x=20%×108 B.54-x=20%×(108+x) C.54+x=20%×162 D.108-x=20%(54+x)

【分析】根據題意，旱地改為林地後，旱地面積為（54-x）公頃，林地面積為(108+x)，等量關係為「旱地佔林地面積的20%」，即54-x=20%×(108+x)

【解答】選B

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，根據描述語找到等量關係是解題的關鍵。