用劉徽的「重今有術」做數學作業

數學作業之應用題解析

即將讀六年級的女兒問了我一道數學作業題，老師給她打了個紅叉，問我錯在哪兒了？

請看題目：

大叔的書架有上下兩層，上層和下層的書本數量比為5:7，在大叔從上下兩層分別拿出33本之後，數量比變為2:5，請問下層書架有多少本書？
解法一：列方程式解答
首先審題，搞清數量關係的變與不變。兩層書架的數量都變了，相差都是33，總數量也變了，相差66，兩層的數量對比也變了，從5:7變成了2:5。但是，在這個過程中有一個量保持不變，就是下層減上層的差不變。找到這個等量關係就可以列方程式求解了。
設上下兩層原來的數量之和為x，那麼原來上層有（12分之5）x本書，下層有（12分之7）x本書，現在上層有（7分之2）（x－66）本書，下層有（7分之5）（x－66）本書，於是列方程式：
（12分之7）x－（12分之5）x=（7分之5）（x－66）－（7分之2）（x－66）

微軟數學截圖1

微軟數學截圖2

微軟數學截圖3

word截圖

解方程得x=108
那麼原來上層有5×108÷12＝45本書，下層有7×108÷12＝63本書，現在下層有63－33=30本書
答語略
解法二 連比例解法
由題意可得以下兩個連比例式
5:7:2=原上:原下:原差
2:5:3=現上:現下:現差
現在我們調整一下這兩個連比，我們知道，比的前項和後項同時乘以一個數，比值不變。調整的目的是讓原差=現差
調整後得到以下連比：
15:21:6=原上:原下:原差
4:10:6=現上:現下:現差
我們發現原下和現下相差11份，相差33本書，那麼一份就是33÷11=3（本），於是根據比例式就可以寫答語了：
現在下層有10×3=30（本）書。
出題老師的本意是讓同學們用連比來解決問題。

劉徽的數學課

現在讓我們回到知識的源頭。學校老師教的比例的知識，古代中國稱為「今有術」，今有術的進一步推廣，涉及多個量的關係，叫「重今有術」。三國時期魏國數學家劉徽把今天的連比例或複比例，稱為「重今有術」。

下面讓劉徽為大家上一堂數學課。內容是「重今有術」。

例題一

請同學們認真學習劉徽的齊同術。「三率悉通矣」意思是：

生絲：熟絲=4：3=129：96

熟絲：青絲=32：33=96：99

生絲：青絲=128：99

又一道例題

練習題

我用圖中的練習題第2小題考女兒，結果是女兒輕鬆解答，給出了正解。