中考數學專題系列十:二次函數與圓相結合的綜合題

2020-12-12 中考數學指路燈

中考數學專題系列十：二次函數與圓相結合的綜合題

作者 卜凡

中考數學專題系列一至系列七分別講述了二次函數與三角形（三角形的面積、等腰三角形、直角三角形、三角形相似）、二次函數與平行四邊形相結合的綜合題的解題思路和方法，在學習的過程中，孩子們的心態和能力悄然發生了變化，由望而卻步變成了躍躍欲試，由毫無頭緒變成了思路清晰。那前面學到的解題思路和方法在解決二次函數與圓相結合的綜合題時可否有用呢？大家不妨一試。先看題目（給孩子們留出充足的思考時間）：

例題: （2015崇左）如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是（5，4），⊙M與y軸相切於點C，與x軸相交於A，B兩點．（1）則點A，B，C的坐標分別是A，B，C ；

（2）設經過A，B兩點的拋物線解析式為y=（x-5）2+k，它的頂點為E，求證：直線EA與⊙M相切；

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

分析：（1）、（3）兩個小題在以前都有講解，尤其第（3）小題在中考數學專題系列二中進行了詳細闡述，在這不再重複。下面重點分析一下第（2）小題。

方法一：要證直線EA與⊙M相切，首先連接MA，只要證出MA⊥AE即可，也就是證△MAE是直角三角形。這樣就把證明相切的問題轉化成了證明直角三角形的問題，無疑，勾股定理的逆定理是最好的選擇。因為A、E兩點的坐標都能求出，點M的坐標又是已知的，所以就能求出AE =225 /16、MA =25、EM =625 /16，所以得出AE +MA =EM ，所以∠MAE=90°，所以MA⊥AE，所以，直線EA與⊙M相切。

方法二：要證直線EA與⊙M相切，首先連接MA，只要證出MA⊥AE即可，也就是證∠MAE=90°，不妨過點A作x軸的垂線FG，分別過點M、E作x軸的平行線，於直線FG分別交於點F、G，這樣△MFA和△AGE就是系列五中提到的「翅膀三角形」，發現△MFA∽△AGE（兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似），所以∠FAM=∠GEA，又∠GEA+∠GAE=90°，所以∠FAM +∠GAE=90°，所以∠MAE=90°，所以直線EA與⊙M相切。

方法三、分別求出直線AM、AE的解析式，發現解析式中的比例係數乘積為-1，所以MA⊥AE，所以，直線EA與⊙M相切。

總結：二次函數與圓的問題轉化成了三角形的問題進行解決，體現了轉化思想；一題多解的訓練又拓展了孩子們的思維，無形中提高了孩子們的思維能力；前面學到的解題思路和方法也是非常有用的。

答案：（1）A（2,0）、B（8,0）、C（0,4）（2）略（3）存在；點P坐標為（5，4），或（5，），或（5，4+）

針對性練習題：1、如圖，已知拋物線y=-（x2-7x+6）的頂點坐標為M，與x軸相交於A，B兩點（點B在點A的右側），與y軸相交於點C．

（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0），並指出頂點M的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上找點R，使得CR+AR的值最小，並求出其最小值和點R的坐標；

（3）以AB為直徑作⊙N交拋物線於點P（點P在對稱軸的左側），求證：直線MP是⊙N的切線．

2、如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與x軸相交於C（-2，0），D（-8，0）兩點，與y軸相切於點B（0，4）．

（1）求經過B，C，D三點的拋物線的函數表達式；

（2）設拋物線的頂點為E，證明：直線CE與⊙A相切；

（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點F，使△BDF面積最大，最大值是多少？並求出點F的坐標。

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