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【發表說明】
本文為系列文章的第4部分。
在第3部分中，我們已經以「波」為例，說明了在物理學的發展中，「類比」思維的重要作用。
在本部分中，我們將以「數」的概念發展和演化，來說明在數學發展過程中，數學家同樣需要通過「類比」來發展新的概念，並且數學家居然也和普通人一樣，對概念的理解也受制於生活中所存在的「樸素類比」。
——重申一下本系列文章的目的：我們是希望藉此來揭示「類比」，是全人類普遍擅長、且極為有效的思維方法。
不藉助類比，人就無法有效思考——只有充分理解了這一點，我們才能對教學中的「類比」、對於學習者有效思維的重要性，建立更為深刻的理解。
對於新手來說，每學一個數學概念，都需要依賴於與熟悉現象之間的「樸素類比」——比如加法是向盤子裡增加蛋糕、除法就是均分蛋糕。
他們總要小心翼翼,儘量避免在抽象世界裡摔跟頭。因為，樸素的數學類比在非數學人士的頭腦中終生不走,帶他們進入死胡同,造成困惑謬誤。為了避免這種命運,在接觸逐漸變得複雜而抽象的數學概念時,必須不斷修正自己的「範疇」系統。
【王珏老師簡釋：「範疇」是一種非語義化的一類事物的心理表徵——比如令我印象深刻但又感覺「怪怪」的事情。「範疇」與「概念」都是分類的產物，但概念是一種清晰的認知、並且能用語言精確描述，而範疇相對更加模糊、範圍也更大。】
那麼,專業數學人士是怎樣的呢?他們是否就不需要依賴「樸素類比」、以避免摔跟頭呢？
——畢竟,在所有學科中,數學通常是被看作嚴謹和邏輯的頂峰，直覺、預感、模稜兩可這些詞彙所佔據的位置比在其他學科中要少得多。
然而,這不過是在數學和其他任何人類活動中同樣適用的「偏見」而已。
偉大的法國數學家龐加萊，深刻地思考了數學創造的性質，他給出了如下評論:
誰會認為,他們總是一路向前,一步接一步,卻對所要達到的目標沒有任何清晰的認識?為了抵達目的,必須對正確路徑作出猜測。為此,他們需要一個嚮導。這個嚮導主要是類比。
為了支撐龐加萊的觀點,讓大家清楚地理解"類比"這一「不精確的思維方式」對於「精確的數學思維」的關鍵性作用，下面將以「數」這一數學基本概念的發展為例，進行說明。
一共是4個小故事。
第1個故事 「三次方程的解」有何特徵？
在16世紀早期，歐洲的數學家正在試圖解決形式為"ax^3 + bx^2+cx+d=0"的三次方程。
在此之前的1500年間,人們已經熟知形式為"ax^2+bx+c=0"的二次方程的解法。這個舉世皆知的解的核心，是一個平方根,即某一個量(具體說是,b^2-4ac)的平方根。這個量可以從該二次方程中的3個係數a、b和c計算而得。
作為讀者，如果現在問你，3次方程的根具有怎樣的特徵？你會如何思考？
或者說，如果我們根據2次方程的根的特點，來「猜測」3次方程的根的特點（如下），你會感到「理所當然」嗎？
既然2次方程的解中含有全部的係數（a、b、c），所以3次方程的解也應該含有全部的係數（a、b、c、d）既然2次方程的解為全部係數的某種運算後再開2次方根，所以3次方程的解就應該是所有係數的某種運算後再開3次方根
確實，即使當時最嚴謹的數學家，也都是這樣來「思考」的（也許叫「猜測」更加合適）！
為什麼數學家會接受這樣一個含糊、缺乏精確性的思想呢?
答案很簡單:這兩個方程形式如此相似,它們之間必然存在某種暗含的聯繫,即某種相似或類比。
對於人類在來說，這樣的類比是不可抗拒的。
數學家,甚至最傑出的數學家,也是普通人。不需要任何有意識的思維過程,他們自然而然地預期這裡存在著「類比」。
這個「從2向3滑動兩次,再從3向4滑動一次」 (這個概念滑動本身就是一個微型類比,其形式為:"4之於3類似於3之於2,")的小猜測似乎微不足道。
但假如沒有這類看似無關緊要的、在數學中俯拾皆是的「概念滑動」，任何一點進步都是不可能的！
第2個故事 「負數」概念的搖擺
第1個故事，其實只是個引子。下面，「負數」的故事才剛剛開場。
讓我們重溫一下求三次方程解法的故事。
大約500年前，義大利數學家卡爾達諾，綜合前任們的發現,把三次方程的解法，發表在一本名為《大術》 (Ars Magna)的著作中。
讓今人感到極為奇怪的是,卡爾達諾用了整整13章才把三次方程的所有「不同」的解法羅列出來!
——與此相比,如今,整個解法只需要一個公式,一行就能寫下,而且可以輕鬆教會高中生。
當初這個公式為什麼如此複雜呢?
問題出在當時的人們不接受「負數」的存在。
負數對今天的地球人來說不言自明。在x^3+3x^2-7x=6這個等式中，第三項的係數是負數即-7。我們都知道：減去一個數與加上這個數的負數是相等的。可以把這個等式寫成x^3+3x^2+（-7）x=6。
對於生活在卡爾達諾500年之後的我們來說,這兩個等式完全可以互換。建立它們之間相等性的「概念滑動」微不足道,甚至感覺不到這種滑動。
但對於500年前的人來說, -7的概念根本不存在。對於他來說,去掉多項式裡的減法的唯一合理辦法是將這個不合群的項移到等式的另一側,因而創造出不同但相關的另一個等式,即x^3+3x^2=7x+6——即讓等式裡的所有係數都變成正數。
結果,為了處理好三次方程的各種不同的解法,卡爾達諾必須移動方程裡的各項,讓等式裡不存在任何減法,最終變成只有加號,也就是只有正數的新等式。
結果,這種安排產生了13種不同性質的三次方程。在當時的專家眼裡,每一個三次方程和其他12個都存在本質區別。
從當代人的角度看,卡爾達諾的做法可以比擬為：某人發明了13種開罐頭的起子,每一種只開一種罐頭。
也就是說,三次方程的解缺一把通用的「罐頭起子」。
但是,當時的人們沒有意識到所有這些不同的方程式實際上是同一個方程式。在當時,這一目標是不可想像的。
卡爾達諾的13種解法看似不同,但實際上它們有驚人的相似之處。這些相似之處,也就是「類比」,給後來者以啟迪,他們盡力將其融會貫通成一個等式。
但是,要實現統一,必須要對原有概念進行延伸、擴充或彎曲。
顯然,人們需要一個新的「概念跳躍」，把數的範疇延伸，讓它包括負數。
哪怕對於數學家來說，這都不是一個簡單的過程！
從古希臘開始,人們就已經知道一些非常簡單的等式沒有解,例如,2x+6=0。
作為當時的數學巨頭，卡爾達諾本人知道,一些他稱之為「虛擬數」的數可以滿足這類等式。
不過，他理所當然地——「輕蔑地」拒絕接受這種數的存在。對於他來說,-3的概念不可形象化,是荒謬的。這種想法或許可以刺激思考,但必須被看作荒謬的,因為它們在現實世界中無法實現。卡爾達諾因為負數不能和現實世界中任何實體聯繫在一起,所以稱它們為「虛擬的」,並棄之一旁。
但是,他的繼承人,特別是拉斐爾·邦貝利，強烈地想要找到卡爾達諾13章裡包含的令人困惑的複雜解法中縹緲的一致性。最終,在1570年，邦貝利接受了負數的概念,讓它與正數概念平起平坐(或者幾乎平等)。
這一發展大大簡化了三次方程的解, 13家因此從容地匯成一家,與13家相關的13個解也融成了一個簡潔的解法。
這個故事為前面章節裡反覆出現的主題提供了一個絕好的例證。它說明人的心智總要改變其範疇，智能的增長有賴於概念的延伸。
在這個具體的例子中,作出接受負數的決定是出於尋找統一的願望,結果導出令人滿意的簡化。從此誰也不願意再回到從前的狀態,不願再看到一長串的特殊解法。
然而,將負數引入數的範疇在很長時間之內，並未被數學界廣為接受。
甚至在負數出現的250年後,符號邏輯發展的中心人物,英國數學家奧古斯塔斯·德摩根仍在抵制這一概念。
他在1831年的《數學研究與難題》一書中寫道:
「8-3"容易理解;3可以從8中取出,剩下5。但是"3-8"卻不可能,因為你必須從3裡面拿出比3大的數。這很荒唐。如果"3-8"這個式子是某個問題的答案,那或者說明這個問題本身是荒謬的,或者說把它換算成某個等式的方式是荒謬的。
在該書同一章稍後部分,德摩根提供了一個更具體的例子:
一位父親56歲,他的兒子29歲。問,什麼時候父親的年齡將會比兒子大一倍?
德摩根將這個文字題翻譯成等式: 2 (29 +x)=56-x,其中x等於問題描述的情況實現所需的年數。
然後他求出解,很容易得出x為-2,但是,他認為這個結果很荒謬：
"需要-2年」,這是什麼意思? 「從現在起再過-2年」,是什麼意思?這絕對沒有任何意義,甚至比沒有還少!
之後,他解釋道:
本來不應該被「父親的年齡將會」這幾個詞設置的陷阱所迷惑。相反,應該把x看作父親比兒子大一倍之後過去了少年。這樣想,就可以把這個等式寫成2 (29-x) =56-x。答案則是x=2,與事實符,也就是說,父親的年齡在兩年前是兒子的年齡的2倍
只有在這種情況下,德摩根才感到滿意,並且承認,"-2年將過去」和「已經過去2年」的意思是相等的。
所以,他其實也承認某個數值可以為負,但一段時間卻不能為負。
這樣說來,可以假定德摩根對於出現在純數學裡的負數並沒有任何芥蒂,儘管他認為負數不適用於現實世界。
然而,這位數學家事實上並沒有轉過彎來。因為，在稍後的討論中，他「仍然」沒有把二次方程看作一個單個的、統一的問題,而是將它分解成了6個不同的方程組,用和卡爾達諾完全一樣的方式強調方程中的3個係數都必須是正數!（請注意：這是「負數」被提出後的250年後）
換句話來說，即使對數學家群體來說，「負數」的概念經過300年時間長河的洗禮，仍然頑固地徘徊在數學家的頭腦之外。
究其原因，不得不說，這與負數的概念難以在生活中建立「樸素類比」有關。
德摩根的疑慮暴露了一個事實:概念延伸依賴「類比」的精神力量的推動、和對以「統一」為基礎的美學的追求,這是一個漸進而主觀性的過程。
對某個領域最有洞見的學者在某些概念延伸面前也會猶豫,而這些延伸對後人來說可能會像羊羔一樣天真無邪。
故事講到這裡，我們可以看到：一些名望極高的數學家,例如德摩根,甚至在數的概念上也左右搖擺,在接受或禁止負數的問題上舉棋不定。對他來說,哪些數可以在計算中出現取決於文字題所描述的情形。
——因此,事實上，數學家其實和普通人一樣，都很容易受到「樸素類比」的影響。
下面，我們再換個角度來說，為什麼今天「負數」的概念已經成為所有人的常識了呢？
——這只能說明日常生活的世界和抽象的數學王國是多麼緊密地聯繫在一起！因為人們天天用負數來交流：冬天的氣溫降到零下,樓層中的負數表示地下、銀行帳單用負數表示支出、股票用負數表示下降……
就這樣,曾經振聾發聵的智能成果，變成了常識性不加思考的習慣。——這仍然是「樸素類比」的力量！
第3個故事 「虛數」的挑戰
拉斐爾·邦貝利在1570年左右，終於完全接受了負數存在的現實。但是他又要面對一個更大的挑戰——一個自從他開始接受這些奇怪的負數起，就讓他困惑的迷。
問題的根源，仍然在於解三次方程式：這個解有時需要負數的平方根。
邦貝利比任何人都清楚怎麼計算帶正負號的數的乘法——他畢竟是陳述其規則的一人。他知道兩個負數相乘結果總是正的,正如兩個正數相乘為正一樣。沒有任何一個數(我們今天稱之為實數),其平方是負數。
簡言之,所有平方都是正的(或0),因此,負數都沒有平方根。
一切似乎都正常,但問題是,負數的平方根時常出現在非常普通的三次方程中。
例如,很容易證明,在x^3-15x=4這個方程式的多個解中,其中一個是x=4，其餘的兩個解都有著長長的代數表達式，其中中會出現兩次-121的平方根。
面對這樣一個貌似荒謬的局面,該怎麼辦?
幸好,邦貝利知道,這個令人撓頭的代數表達式，其「功效」確實等同於那個極熟悉、極真實的4,對於這一點,他確信無疑。
這個問題其實是一個微妙的提示,邦貝利邁出了勇敢的一步,將這個謎一樣的平方根「照單全收」——把它當作任何一個其他數一樣,使用標準的代數規則對其進行運算。
雖然負數的平方根「沒有」數學意義（對那個時代的人來說），但邦貝利逐漸意識到：他可以像運算其他任何「真正」的數一樣運用根號下-121,這個與更熟悉的數之間的類比，使這個新的類似的數多多少少可以被接受。
從此,邦貝利開始接受負數的平方根——儘管他絲毫不清楚這些數是什麼。
這些奇怪的表達式在許多方面和「正常」的數一樣,並不會把人們帶入悖論的泥潭,反而會豐富人們對數學世界的理解。
反對的聲音因而逐漸消隱,數學界也向它們敞開大門,逐漸接受,儘管意見尚未完全統一。
例如,在1702年,萊布尼茲是這樣描述笛卡爾稱之為"子虛烏有」的那些數的:
「在分析奇蹟中發現的一個優而奇異的錯覺,一個理想世界裡的異數,幾乎是存在和不存在之間的一個兩棲動物。"
甚至歐拉,這位因為建立了複數理論的堅實基礎而值得頒揚的瑞士天才,在負數的平方根這個問題上也有如下論斷:
「不是無,也不是比無少,這使它們成為子虛烏有，確實是不可能的。」
無論如何,儘管存在偉大或平庸的數學家的各種抗議,在邦貝利的探索之後的數百年間,這些「子虛烏有」的數緩慢地站住了腳。
這一過程在很大程度上歸功於人們發現了一種直觀的方法,就是把它們看作平面上的點，這種直觀讓他們看到了相加、相乘的優美幾何圖解。這一關鍵性的發展在福康涅和特納著作《我們的思考方式》中有生動的描述。
幾何直觀在數學中非常重要。它賦予某些實體以幾何詮釋。如果沒有幾何詮釋,這些實體的存在似乎都是反直覺的,甚至是自相矛盾的。如果能夠找到一種幾何方式讓我們看到它們,總會有助於接受抽象的數學實體,因為這樣的映射給這些實體一種實在感,使它們更容易被接受。
第4個故事：N維空間
本文的最後一個小故事，是關於空間的故事。
數學運算中平方數的概念，其名稱出自平面上的一個正方形幾何圖像。這個圖像的四邊等長,因此其面積是長的自乘的乘積。
同理,一個立方數最初被理解為一個實在的立方體體積,即,三個相等長度相乘的積。
但是,沒有人敢超出立方體,至少沒有人敢這樣去做,因為這樣一個量要從一個可觀察到的物體獲得名字。
——所以,一則算數運算,如果寫成"5x5x5x5"一點問題也沒有,只要沒有人試圖給它一個幾何解釋。
當有人提出一個大膽的「類比」設想,認為5x5x5x5的積或許代表什麼東西,或許像一個面積或體積那樣,但卻和四維空間相關時,人們都極力反對,感到這有悖於空間的本質。
即使到了19世紀初,許多數學家仍然對此表示反對。
——我們再一次看到了，即使是數學家，理解一個數學概念，也不得不依賴於「樸素類比」。由於這種算式缺乏空間類比,這造成了維的概念不能延伸到三維以外。對數學家也是如此。
一直到19世紀後的很長時間後，這一魔咒才被打破。似乎在一瞬間，N維空間的思想——包括四、五、六、七維、甚至0.5維、3.1415926維……就很快被數學家所接受了。
具體是如何突破的呢？
這個過程，受惠於在高維空間成立的定理、和在熟悉的低維空間成立的定理之間的緊密「類比」。
在地球的三維空間中、想像四維空間的最佳辦法，是將自己想像成一個生存在二維空間的可憐人，他是如何推理三維空間的。然後，再使用「4維之於3維，就類似於3維之於2維」的「類比」技能去擴展思維世界。
通過想像那個二維空間的人是如何超越他的局限,我們也試圖超越自己的局限。障礙一旦被徵服,這個類比的巨大力量就再也不會回到原來的狀態。
潘多拉的盒子打開了,我們可以輕易地從四維跳到五維、六維,以至無窮。
「什麼?!一個有無限維的空間?胡扯!」在19世紀末,許多數學家就是這樣回應的。
然而,現代數學家對於這樣的反應只是一笑而置之,因為對他們來說,多維空間的思想似乎是不言自明的。
包含可數的無窮維的空間被稱為「希爾伯特空間」。對於理論物理學家來說,量子力學就「住」在這個空間裡。
也就是說,根據現代物理,宇宙就建立在希爾伯特空間的數學之上。與現實世界的聯繫使無限維空間的概念變得有道理、更容易被人理解與接受，從而擺脫「樸素類比」的束縛。
結語
以上通過4個數學史上的小故事，我們不難感受到：
數學抽象的過程基本就如上面的例子一樣，從一個「熟悉」的概念開始，試圖提取出其中的精華，然後試圖在數學的其他領域裡找到某種一樣的或類似的東西
——「人類認識陌生事物，依賴於與已知事物的類比」，這和我們在前文所述中，物理學大廈的構建過程完全相同。（詳情參見：科學教學法：類比(3)—以「波」為例，解析科學理論發展中的類比思維）
事實上，關於「抽象」，還有另一種路徑：在不同領域的兩個結構中，發現出某種相似性，然後將注意力集中到它們共有的抽象結構之上。
不過，由於新形成的「抽象」，又會變成一個可供研究的「具體」概念，因此你又可以繼續將新的概念用以上兩種抽象方式，進一步加以抽象，如此類推，無窮無盡……這也正是數學大廈越來越龐大、越來越繁雜、越來越抽象的內在原因。