數學 | 負數該怎麼開平方?寫給少年的第一堂複數入門

數是數學最基本的研究對象，但是從人類開始建立數的概念起，卻經常發現數會不夠用，真是腦殼疼。

一開始，人們只需要數人頭數羊數雞數兔數蘋果，這時候有自然數就夠用了。

△ 我們一起來數羊吧

後來，人們發現兩個自然數相減，結果不一定能用自然數表示，比如說 負整數：

△ 可能很多人都不太喜歡負數

有了負整數，我們就把整數給湊齊了。但是人們發現，很多東西不能一個一個數，還有可能是半個，也就是說，兩個整數相除，結果不一定能用整數表示，比如說 分數：

△ 一個大餅切3刀最多能切出幾塊？（跑題了）

分數的本質是兩個整數的比，加上分數之後，我們就湊齊了有理數。但是人們又發現，還是有些東西無法用有理數來表示，比如說一個邊長為 無理數。

△ 根號2等於幾還能不能秒答？

加上無理數之後，我們就湊齊了實數。但是人們又發現，還是有些東西無法用實數來表示（你們煩不煩啊喂？），比如說一個負數的平方根。

△ Vita一年級時曾經思考過這個問題
（註：-8兩邊應該加括號）

Vita 在一年級的時候曾經研究過這個問題，他知道負數的平方根是一個虛數（imaginary number），我們討論0是不是自然數這個問題的時候，他曾經說過一個想法：

我還覺得這個想法挺有意思的。

我們為什麼需要虛數？

正方形對角線、圓周率這些畢竟是現實當中存在的東西，我們為了表示這些東西引入一些新的數好像還說得過去，但是虛數就不一樣了，給負數開根號這種事好像沒辦法想像出一個現實當中的意義。

但是數學畢竟是高於現實的，我們可以想像這樣一個問題：是否存在兩個數它們和是

乍一看似乎不存在這樣一個數，因為即便把

怎麼樣，結果是不是等於

在這兩個數中，單獨看 負數的平方根必須是存在的，不然總不能無中生有吧？

那麼負數的平方根到底有什麼意義呢？我們先看一個最簡單的例子：

重新理解一下乘法

要回答這個問題，我們需要重新理解一下乘法。

小學二年級講乘法，老師說乘法就是幾個幾，這個理解在正數範圍內還好，負數出來之後就有點捉雞了：你說兩個負數是相乘，是應該理解成幾個幾才好呢？

關於這個問題，我以前也講過如何用代數手法來解釋，那我們現在再換種方法思考一下。

我們知道 把這根箭頭繞原點旋轉 180 度。

為了便於理解，我試著用 manim 畫了段小動畫：

△ 乘以-1相當於繞原點逆時針旋轉180度

這樣一來，兩個負數相乘等於正數的問題就很容易解釋了呢。

好了，那現在我們來思考一下

先想一下 這個數乘以它自己等於 ：

我們發現

現在再來看 這個數乘以它自己等於 ：

不過這次我們似乎找不到這樣一個數。別急，還回到數軸上，既然乘法可以理解為繞著原點旋轉，那我們是不是先轉一次 90 度，再轉一次 90 度，就可以把

也就是說：

△ 乘以根號-1相當於繞原點逆時針旋轉90度

我們可以把 繞原點逆時針旋轉 90 度，妙啊！

既然如此，我們用 這個箭頭指向的位置並不在數軸上面鴨！？

現在，請打開你們的腦洞：為什麼數就一定要呆在一根直線上面呢？

△ 千反田：我很好奇！隱藏的另一條數軸

我們所看到的數軸的確是一條直線，每一個實數在這條直線上都能找到一個相對應的點，但是這條直線外面，就真的什麼都沒有了嗎？

當然不是。

如果我們再畫一條垂直的數軸出來，那麼

我們把水平的數軸叫做實數軸，把垂直的數軸叫做虛數軸，於是我們發現

既然實數中我們有個說法叫單位 ，那麼 虛數的那個單位 ，為了方便，我們給它起個名字叫做 虛數單位。

△ 虛數就隱藏在另一個維度

現在讓我們整理一下：

很簡單吧！不過，就好像

現在我們再思考一下，剛才我們讓 逆時針旋轉兩次 90 度，得到了 順時針旋轉兩次 90 度，不是也可以得到

於是，順時針旋轉 90 度得到的那個數，好像也是

△ 反著轉也可以呢！

我們看一看順時針旋轉 90 度之後，箭頭指向哪裡呢？正好是虛數軸上 負的單位

△ 我們找到了-1的另一個平方根

神奇呀，原來

△ 我們一起轉圈圈

那我們是不是也可以說，所有 ——當然，它們都可以等價地看作

說了半天，負數到底怎麼開平方？

我們討論了

拿

我們可以先把這個箭頭逆時針旋轉 90 度，並且拉長到原來的

△ 旋轉，跳躍，閉著眼

看出來了嗎？

哦對了，別忘了我們還可以反著轉，於是

如果不在數軸上呢？

剛才我們遇到的所有的數都在數軸上——在實數軸上，那就是一個實數，比如 虛數，比如

現在讓我們想像一下，如果要求

其實也不難，還是剛才的套路。既然把箭頭逆時針轉 90 度會得到 轉 45 度不就是

△ 轉45度也可以鴨

當然，別忘了，反著轉 135 度也可以：

△ 千萬別忘了還能反著轉哦

可是大概你也發現了，無論哪種轉法，這個箭頭所指向的數都不在數軸上，而是在這個平面上了！像這樣的數，我們就稱為複數（complex number）。

既然複數是一個平面上的點，那我們就可以用坐標來表示它們。先找到它在實數軸上對應的位置，然後找到它在虛數軸上對應的位置，再把它們加起來就搞定了。

比如上面這張圖裡（注意：這個跟剛才

很顯然，數軸也是平面的一部分，所以實數和虛數是兩種特殊的複數——

擴展：複數真的夠用了嗎？

最後一個問題：複數真的夠用了嗎？

前面我們講過，減法在自然數裡不夠用，我們才需要負數；除法在整數裡不夠用，我們才需要分數；平方根在實數裡不夠用，我們才需要複數……

那麼會不會有什麼運算，在複數裡面又不夠用了呢？

首先，加減乘除我們就不討論了，不然篇幅太長，又不是寫教科書呢。

我們前面討論了給虛數 它的值依然在複數的範圍內，就是把

看起來很複雜哈，沒關係，反正它依然是一個複數。由於乘法就是旋轉和縮放，所以無論對任何複數開平方，我們只要從 結果一定可以在複數範圍內表示，開

其實，我們可以把開方運算理解為指數為分數的乘方運算，比如 這些運算都可以通過箭頭的旋轉和縮放來解決。

然而，總有人能想出一些么蛾子，比如說

要計算

計算過程不重要，結論是

更神奇的是，我們發現裡面有一個 ——但無論如何，這依然沒有超出複數的範圍。

事實上，所有六種基本運算都可以在複數範圍內完成，而且滿足實數中的所有運算律，因此從這個角度來看，複數已經夠用了。

那複數還有沒有擴展呢？當然有，比如四元數，但是以我粗淺的了解，它不再是用來解決數不夠用這個問題了。

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