邂逅負數的平方根——複數的產生

2020-12-17 天極網資訊

我們知道：兩個負數相乘，其乘積總是正數。因此，根據定義，所有不等於零的數的平方應該都是正數。問題自然就出現了——一個負數的平方根是多少？我們知道，4的平方根（√4）是2（22=4）。是否也可以認為√4也可能是-2呢？因為（-2）2=4。到了16世紀，一些複雜等式的運算不可避免涉及了求解負數的平方根和立方根問題，數學家們則被迫開始解決這一難題。

 

 

1545年，義大利數學家吉羅拉·卡爾達諾提出，雖然負數的平方根沒有實數值，但是可以有一個虛值，或者可以「假想」一個數值。很快，拉斐羅·邦別利提出可以利用叫做「複數」的數值來表達一些等式。在複數裡，有基於單位1的「實數」部分，也有基於單位i的虛數部分。我們要感謝勒奈·笛卡爾提出了虛數這個概念，感謝萊昂哈德·歐拉使用符號i。虛數單元i的運算和單元1的運算類似，也是i+2i=3i，但是虛數部分構成了另外一組數的基礎，而這組數和實數截然不同。（這兩種數的幾何之間沒有交叉，但是很相似。）所以一個複數可以是1+i或者3+2i。進行實數的加減運算的時候，實數和虛數部分分別運算。進行乘法運算的時候，係數與這兩部分分別相乘。

 

 

1673年，沃利斯發明了一種簡單的方法，將虛數表示成平面上的點。他引入另一條與實數軸垂直的數軸，將虛數放在這條數軸上。實數構成了平面上的一條數軸，而虛數則構成了另一條數軸。平面上其它點與複數一一對應，複數由兩部分組成，一部分為實部，另一部分為虛部。在笛卡爾坐標系中，我們沿實軸度量實部，沿平行於虛軸方向度量虛部。這與笛卡爾運用代數方法處理平面幾何問題類似，都使用了數軸。例如，3+2i距原點右方3個單位，上方2個單位。沃利斯的思想解決了有關虛數的意義問題，但無人問津。不過慢慢地，他的思想潛移默化中被人們所接受了。大多數數學家不再為複數平方根在實數軸上無立足之地而苦惱了。

 

 

複數作為合理的量被人們接受後，在數學的各個分支中迅速傳播。如今，複數被廣泛應用於物理學和工程學中。一個簡單的例子就是振動（周期性重複運動）研究，比如地震中建築物的搖動、車內的振動、交流電的傳輸等。最簡單、最基本的振動模型是表示時間，a表示振幅，表示振動頻率。實際上，很容易將該公式改寫成複變函數的實部，複數的應用簡化了運算，因為指數函數要比餘弦函數簡單。複數也還可以用於測算動力系統穩態的穩定性，因此被廣泛應用於控制論中。

 

圖片來源於網絡

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（作者：科普中國責任編輯：天極科普君）

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