最近有個小朋友跟我說，他在網上看了一個帖子，說有一個人推翻了現有數學體系，因為他可以證明3=0。這是怎麼回事呢？今天我們來討論一下這個問題。
我們首先來說一下這個帖子的證明。帖子的作者構造了一個方程：
(1)
這是一個一元二次方程。顯而易見，0不是方程的根，於是就可以讓這個方程的等號兩邊同時除以x，得到下面這個新方程：
(2)
然後再把式子(1)和(2)作差，左邊減左邊，右邊減右邊，得到如下的方程：
因為x≠0，現在在等號兩邊同時乘以一個x，就變成了：
顯而易見：方程的根是
好，方程解完了，我們再把這個解代回到原方程就會有
現有數學體系被推翻了！
問題出在哪？
我們首先來討論一下初中數學內容：一元二次方程。
根據求根公式，這個方程有兩個根：
根號裡邊的部分叫做判別式，
在公式裡，判別式要開平方。在上初中的時候我們知道：只有非負數才有平方，所以我們有這樣的結論：判別式大於等於0時，一元二次方程有兩個實數根，而判別式小於0時，一元二次方程沒有實數根。
明白了這個道理之後，我們再回過頭來看最開始的方程(1)
(1)
這個方程的係數a、b、c都是1，按照一元二次方程的解法，它的判別式
它是小於零的，說明這個方程沒有實數根。既然連實數根都沒有，解出x=1的結果肯定是不對的。
1799年，22歲的數學王子高斯提交了自己的博士論文《單變量有理整代數函數皆可分解為一次或二次式的定理的新證明》，用人話說就是：n次多項式方程就一定有n個根，這個結論被稱為代數基本定理。
高斯
等會兒，剛才我們還說判別式小於零的時候一元二次方程沒有實數根，現在又說n次方程一定有n個根，這不矛盾嗎？
我們先回憶這樣一個情景：小學一年級的時候，如果老師問我們：1減去2等於幾，我們一定會回答算不了，因為我們對數的認識只停留在自然數上。不過，如果引入了負數，就能得
這就是數域拓展——從自然數N拓展到了整數Z。
如果小學二年級的時候，老師問我們：10除以3等於幾，可能我們又會回答算不了，因為10除以3不是整數。不過，如果引入了分數，10除以3就能算了。
整數和分數統稱有理數，從整數Z到有理數Q，又是一次數域拓展。
我們繼續想：如果小學三年級的時候，老師問我們3的平方根是多少，我們還是會回答算不了，因為3的平方根不是整數也不是分數。但是，如果引入了無理數，3的平方根就又有了。
有理數和無理數統稱實數，從有理數Q到實數R又是一次數域拓展。
繼續，如果上了初中，老師問我們：-1的平方根是多少？我們一樣會回答：不存在。因為任何實數的平方都不可能是負的。實際上，如果引入了虛數，-1的平方根就又存在了。
其中i是虛數的單位。實數和虛數，統稱複數。從實數R到複數C，又是一次數域拓展。
數域擴張
對於方程
由於判別式小於0，它沒有實數根，但是依然有複數域內的根。按照求根公式，
在初中的時候我們學過：任何一個實數，都表示成實數軸上的一個點。其實，複數也可以對應於複平面上的一個點:過實數軸上的原點做一個實數軸的垂線，這叫做虛軸，實軸和虛軸拓展成的二維平面就叫複平面。
任何一個複數都可以表示成複平面上的一個點，它的橫坐標叫做實部，縱坐標叫做虛部。比如剛才方程的兩個根，在複平面內就表示成下圖：
大家看，這個一元二次的兩個根沒有落到實數軸上，所以它沒有實數根，只有兩個複數根。而且這兩個根都不是1.
那麼，x=1又是怎麼出來的呢？
初中二年級，我們學習了分式方程，老師會講到增根的概念。比如一個方程
有兩個根
現在，我讓方程兩邊同時乘以x-a，得到
顯然，除了原來方程的兩個根之外，這個方程還多出了一個根
因為方程兩邊同時乘以x-a，就會引入根x=a,它並不是原來方程的根.這樣的根就就稱之為原方程的增根。
現在，我們就可以研究一下前面帖子裡的證明方法問題出在哪裡了。我們令
(1』)
第一步兩邊同時除以x，得到
(2』)
然後把式子(1』)和(2』)作差，變成了
再讓等號兩邊同時乘以x，於是就變成了
大家看，帖子裡紛繁複雜的操作，最終不過是在兩邊同時乘以(x-1)。這樣原來的二次方程就變成了三次方程，它的根從兩個變成了三個——多出了一個增根x=1。
將增根代回原來方程，顯然是不合理的。
如果把這三個根畫在複平面內，它們會落在一個半徑為1的圓上，並且彼此夾角都是120度。
還挺有趣的。
這些知識都是我上初中的時候數學老師教給我的，回想起來歷歷在目，仿佛就在昨天。我初中的老師們，你們還好嗎？2021年，祝所有的老師平安健康。
初中合影
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