1. 基本問題說明
集合」的基本問題主要包括：集合概念相關的問題和以集合為背景的創新問題。相關的必備知識的結構圖如下（詳見相關文章）：
1) 集合概念問題
無論是在選擇或填空題中還是在解答題中，都可能會涉及與集合概念有關的一簇基本問題，比如判斷集合和/或元素是否合規、表示集合、求解集合關係及運算、求解二維集合，等等。
它們或者是作為獨立的題型，或者是與其它基礎應用組合在一起出題。如果是前者，則多半屬於送分題J。
2) 集合創新問題
高中數學創新題是一個持續關注的話題。高中中，時不時會來上一道題。由於集合自身適合用來定義的特點，使其成為創新點之一。
在某些集合題目中，出題人會給出一個新定義（如新概念、新運算等），然後圍繞它進行題設（設問）。
2. 解決問題的一般方法（即基本技能）
1）求解集合概念問題的方法與要領
① 判斷集合和/或元素是否合規
(1) 此基本問題會出現在集合有關的客觀題、以及驗證（檢查）求解出的集合的是否合規
(2) 要領——利用三要素「確定性、互異性、無序性」來判定
(3) 互異性檢查是易錯點——易疏忽
② 表示集合
(1) 此基本問題多見於將求得的解(集)以恰當的集合形式表示出來，或考查對已知集合的含義的正確理解
(2) 要領：自然語言、列舉法和描述法；要熟知各方法特點及其適用情形
③ 求解集合關係及運算
(1) 常出現的題型有：判斷幾個集合的關係、求幾個集合的併集（或交集、補集等）、或者根據集合關係或運算結果反過來求集合或集合的元素
(2) 要領：熟練掌握和運用集合的基本關係和運算的定義和性質
(3) 空集是易錯點——易忘或理解不到位
(4) 集合的理解是易錯點——未理解集合元素的數學意義
④ 求二維集合
(1) 二維集合：該集合元素為成對的數據，如(e1,e2)；除此之外，二維集合的基本關係和運算的定義和性質與一維集合是一樣的。
(2) 要領：熟練掌握和運用集合的基本關係和運算的定義和性質
2）求解集合創新問題的方法與要領
① 要領：分析、理解新定義（包括相關的概念、性質和約束）及其（數學方面的）實質意義或作用；
② 一般方法：結合集合的基礎知識和特性，將新定義轉化為等效的數學操作、思路或方法來求解。
3. 典型示例
例1 集合A={x|x^2-(a+2)x+2a+1=0}, 求集合中所有元素之和。
解：依題意，只需分析x^2-(a+2)x+2a+1=0有解的情況，所以：
(提示：集合中方程兩個解要滿足互異性)
當=0時，解得a=0或4，所以x1=x2=-(a+2)/2=-1或-3，
當>0時，有x1+x2 = a+2,
綜上，所求集合中所有元素之和為-1、-3或a+2。
講解：
① 不要忘記對集合的元素進行互異性判斷和驗證；捨去重複的。
② 舉一反三：已知集合A={x，xy，lg（xy）}，B={0，|x|，y}，若A=B，試求x，y的值。
例2集合M={m|10/(m+1) ∈Z，m∈Z}的子集個數。
解：依題意, 集合M={m|10/(m+1)∈Z，m∈Z}中，10的因子有：
-10,-5,-2,-1,1,2,5,10，
所以可能的m為：
m=-11,-6,-3,-2,0,1,4,9，
即M={-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}，共8個元素，
所以M的子集個數為：
2^8=256個。
講解：
① 一般地，正確理解集合的意義和已知條件是解題關鍵。本題已知式10/(m+1)實質上是利用能被10整出的各因子得到m的集合——快速理解到這點是解本題的關鍵。
又例如：{x|y = 1/x^2}本質上是y=1/x^2定義域，{y|y = 1/x^2}本質上是y=1/ x^2值域。
舉一反三：{x|y = √x}、{y|y = √x}的實質意義？
② 舉一反三：已知A={x丨x=28m+20n，m、n∈Z}，B=｛x丨x=12m+18n，m、n∈Z｝。求屬於A∩B的最小正整數,並分別求出一組此時在集合A和B中的m、n的值。
例3 已知A={x|-3≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a+3}，B是A的子集,求實數a的取值範圍。
解：∵B是A的子集，討論：
當B=時，a+1>2a+3, 得a<-2，
當B非空時，a+1≤2a+3，得a≥-2，
由a+1≥-3，2a+1≤5，解得a≥-4 且a≤2，
綜上所述，實數a的取值範圍為上述兩種情況的併集，得：
a≤2
講解
① 本題中有些同學可能會遺漏空集的情況。
② 在考慮子集時，記住「空集是任意集合子集，是任意非空集合真子集」。
③ 集合本身也可作為另一個集合的元素；空集也如此。
例4 設集合A是N*的某個有限子集，集合S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，集合T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．則下列說法中正確的是（其中|M|表示集合M中元素個數）（）
A．|S|＞|T|， B．|S|=|T|， C．|S|＜|T|， D．不能確定
講解：
① 本題以集合為背景的客觀題，涉及集合概念基礎應用相關的幾個基本問題，包括二維集合相關的求解、表示、基本關係等，屬基礎題。
例5 若集合A具有以下性質：
(1) 0∈A，1∈A ；
(2) 若x、y∈A，則x-y∈A；且x≠0時，1/x∈A,則稱集合A是「好集」.
(Ⅰ)分別判斷集合B={1，0，-1}、有理數集Q是否是「好集」，並說明理由；
(Ⅱ)設集合A是「好集」，求證：若x、y∈A，則x+y∈A；
(Ⅲ)對任意的一個「好集」A，分別判斷下面命題的真假，並說明理由。
命題p：若x、y∈A，則必有xy∈A；
命題q：若x、y∈A，且x≠0，則必有y/x∈A；
解：(Ⅰ) 因為-1∈B，1∈B，而-1-1=-2∈B，集合B不是「好集」。
又因為0∈Q,1∈Q,對任意的x,y∈Q，有x-y∈Q，
且x≠0時，1/x∈Q，
所以有理數集Q是「好集」。
（Ⅱ）因為集合A是「好集」，所以0∈A，
又y∈A，則0-y∈A，即-y∈A，
所以x-(-y)∈A ，即x+y∈A。
講解：
① 本題是一道以集合為背景的新定義題型——新定義了一個概念「好集」。熟練掌握集合概念基礎應用、集合創新基礎應用以及建議邏輯（命題）概念的基礎應用是準確地解答本題的前提。
② 從上述解題過程可知，這類題還是可以出得具有相當難度和複雜度的。根據上述解題過程可知，解題一般思路為：
(1) 首先得看懂定義，抓住其本質，比如本題的定義實質是給出一種集合，裡面有兩個特定元素，而且集合中的元素滿足兩個約束關係；
(2) 然後，圍繞新定義進行求解或證明問題。比如本題的求解過程中，各種運算或關係並不複雜，而最關鍵的是圍繞定義所給的特定元素及其約束關係來展開解題思路，因為所給求解問題都得符合新定義要求。
例6 如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合A#B為陰影部分表示的集合．A=（0，2），B=（1，+∞），則A#B=______．
解：（提示：根據圖所示的陰影部分所表示的集合的元素屬於集合A但不屬於集合B，即求A∩CRB；因此可根據交集的定義和補集的定義即可求得）依題意，
講解：
① 本題是一道以集合為背景的新定義題型——新定義了一種結合運算「#」。本題主要考查了集合表示之Venn圖，集合關係和運算之求解等集合概念基礎應用中的內容，屬於基礎題。
② 解答本題的關鍵在於理解新定義的運算的實際意義——即領會其本質。
例7若X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：
① X屬於τ，屬於τ；
② τ中任意多個元素的併集屬於τ；
③ τ中任意多個元素的交集屬於τ．則稱τ是集合X上的一個拓撲．
已知集合X={a，b，c}，對於下面給出的四個集合τ：
①τ={，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ={，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ={，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④ τ={，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓撲的集合τ的序號是．
解：①τ={，{a}，{c}，{a，b，c}}中
而{a}∪{c}={a，c}τ，故①不是集合X上的拓撲的集合τ；
②τ={，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}中
滿足：①X屬於τ，屬於τ；②τ中任意多個元素的併集屬於τ；③τ中任意多個元素的交集屬於τ，因此②是集合X上的拓撲的集合τ；
③τ={，{a}，{a，b}，{a，c}}
而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}τ，故③不是集合X上的拓撲的集合τ；
④τ={，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
滿足：①X屬於τ，屬於τ；②τ中任意多個元素的併集屬於τ；③τ中任意多個元素的交集屬於τ,因此④是集合X上的拓撲的集合τ；
故答案為②④．
講解：
① 本題是一道以集合為背景的新定義題型——新定義了一個新概念「集合X上的一個拓撲τ」。本題屬基礎題，考查學生集合概念以及對新概念的理解、分析和運用能力。
② 解題一般方法
其中對新定義的概念的準確理解是解題的前提，而其解題訣竅在於緊扣概念的定義和性質——或者把它們看作待求證問題的約束，論述其是否滿足；或者把它們看作待求證問題的已知條件，由此推導出結果，等等。
因此，解題一般方法為：首先，關鍵是正確理解新定義 – 按需畫圖，並枚舉幾個特殊值來輔助理解；然後用枚舉或排列組合法求解。
例8 設全集U=｛1,2,3,4,5,6｝,集合A,B都是U的子集,若A∩B=｛1,3,5｝,則稱A,B為「理想配集」,記作［A,B］.這樣的「理想配集」［A,B］共有幾個?
解：由A∩B={1,3,5}, U={1,2,3,4,5,6}，說明2,4,6隻能出現在A或者B或者AB中都不出現3種情況：
∴2,4,6每個都有3種選擇
∴共有3×3×3=27種可能
講解：
① 正確理解題中定義的概念「理想配集」及其實質意思，然後將其轉化為熟知的數學概念或模型來進行求解。本題實質是求解一個排列組合問題,而問題的背景為集合元素。
② 舉一反三：集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一個子集，當x∈A時，若x-1A，x+1A，則稱x為A的一個「孤立元素」，那麼S中無「孤立元素」的4元子集的個數是______。
本文小結：
① 本文主要論述了集合的基本問題——集合概念相關問題與集合為背景的創新問題的求解一般方法和要領。這類題一般不太難，要求不失分。
② 集合概念相關問題中，注意三要素的符合性檢查、忽略空集、理解集合的數學意義等易錯點。
③ 集合為背景的創新問題中，一方面，紮實的集合基礎知識是必備的；另一方面，正確理解和應用新定義是解題關鍵。事實上，新定義這種題型本身就決定了不易出難題，反而看上去複雜、冗長的題設的審題對有些不夠耐心、細心的同學有些挑戰。