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巧解 妙解 暴力解 揭示本質可速解
——對一道拋物線涉及線段等積問題的解法探討和背景溯源
浙江溫州 陳佳文
湖北省陽新縣高級中學 鄒生書
【來源】高中數學解題交流二群 浙江金華 田卓凌 提供
解法1：用直線的斜截式方程硬解 浙江溫州 陳佳文 提供
(2)由拋物線的切線方程公式，
得到l1的方程為y=x+1。
根據切割線定理的逆定理，PQ是△QAB外接圓的切線且切點為Q，則其外接圓圓心G在過點Q且垂直於l1的直線即y=－x+3上，設G點坐標為(a,3-a)，聯立圓G與拋物線C的方程，得
消去x得 (y-2)2[y2+4y+28-8a]=0 ①
則yA ,yB是y2+4y+28-8a=0的兩個實根，
∴yA +yB=-4，
因此可以設l2的方程為y=－x+t(t≠3)，聯立l1, l2的方程解得x0=(t-1)/2，將y=－x+t代入拋物線方程得，x2－(2t+4)x+t2=0，
由Δ＞0可得t>-1, x0=(t-1)/2>-1,且x0≠-1，
因此x0的取值範圍是(-1,1))∪(1,+ ∞)。
【註解】這裡①處的因式分解是這樣得到的：
聯立後消去x得到方程
y4+(16-8a)y2+(32a-96)y+112-32a=0 ②
因為點Q是拋物線與圓的公共點，所以其縱坐標y=2必為方程②的根，於是可設方程②左邊為(y-2)(y3+my2+ny+16a-56)，
解得：m=2,n=20-8a。
所以左邊為
(y-2)(y3+2y2+(20-8a)y+16a-56)，
又注意到
y=2為y3+2y2+(20-8a)y+16a-56=0的實根，
同理有
y3+2y2+(20-8a)y+16a-56=(y-2)(y2+4y+28-8a)=0。
解法2：本解法以上述陳老師的解法為基礎，在某些細節的處理上有所不同。解法如下：
由PQ2=PA•PB，根據切割線定理的逆定理，知PQ是△QAB外接圓的切線且切點為Q，則其外接圓圓心G在過點Q垂直於l1的直線y=－x+3上，由此設G點坐標為(a,3-a)，聯立圓G與拋物線C的方程，得
【評註】點Q是拋物線與橢圓的切點，所以y=2是方程的二重根，如果是交點，則是一重根，明確這一點對方程左邊變形因式分解有很好的導向作用。
解法3: 巧用直線的參數方程求解
【解後反思】從上述諸多解法知切線l1的斜率與直線l2的斜率恰好互為相反數，這一點很有意思，是偶然還是必然？結合解法1中的輔助圓，編者聯想到圓錐曲線上四點共圓有如下充要條件：已知斜率均存在的兩條直線，與對稱軸平行於坐標軸的圓錐曲線相交於四點，那麼這四點共圓的充要條件是這兩條直線的斜率互為相反數。當其中一條直線變成切線時，兩交點重合變成切點，結論仍然成立。
若用這個二級結論則有更加簡潔的方法，由PQ2=PA•PB，根據切割線定理的逆定理知，PQ是△QAB外接圓的切線且切點為Q，由上述結論知直線AB與直線PQ的斜率互為相反數，所以直線PQ的斜率為-1，下面的問題就容易了。
由此可見，本題的命題背景就是與圓錐曲線四點共圓的斜率性質相關的問題。背景溯源，揭示本質，利用二級結論，便可快速解決問題。高觀點，低運算。登高永遠，一覽眾山小。
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