今天，數學世界給大家分享一道初三數學綜合題，這道題難度並不大，解決此題關鍵是正確理解題意，並要靈活運用相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，勾股定理的應用，以及注意對問題進行分類。下面，我們就一起來看這道例題吧！
例題：（初三數學題）如圖，在平行四邊形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°。若動點P從O點出發，沿射線OA方向以每秒2個單位的速度移動，同時動點Q從A點出發，沿射線AB方向以每秒1個單位的速度移動，設移動的時間為t秒。
（1）求直線AC的解析式；
（2）當t為何值時，△OAC與△PAQ相似？
分析：第（1）問要求直線AC的解析式，思路很簡單，就是要求出點A和點C的坐標即可。點A的坐標容易得出，求點C的坐標，需要過點C作CE⊥OA，垂足為E，在Rt△OCA中，根據勾股定理可以求出AC。再利用等積法求得CE的長，即C點的縱坐標，進一步可以求得C點的橫坐標，然後利用兩點式求得直線的解析式。
第（2）問要求當t為何值時，△OAC與△PAQ相似，由於兩個三角形相似可以分幾種情況，所以要結合已知條件分情況進行討論，再根據對應線段成比例即可求得t的值。此題很容易出錯的地方就是只給出一種結果，所以一定要注意分類討論。
解：（1）過點C作CE⊥OA，垂足為E，
∵OA=5，OC=AB=4，∠OCA=90°，
∴在Rt△OCA中，AC^2= OA^2-OC^2，AC=3，
在Rt△OCA中利用等積法，
得5×CE=3×4，
∴CE=12/5，
在Rt△OCE中，OE^2= 4^2-(12/5)^2，OE=16/5，
∴C（16/5，12/5），A（5，0），
設直線的解析式為y=kx+b，
將C（16/5，12/5），A（5，0）代入，（過程略）
可求得直線的解析式為y=-4/3x+20/3。
（2）∵OA=5，動點P以每秒2個單位的速度移動，5÷2=2.5秒
∴當0≤t≤2.5時，P在線段OA上，
此時∠PAQ>90°，△OAC與△PAQ不可能相似。
當t＞2.5時，P在OA的延長線上，
①若∠APQ=90°，則△APQ∽△OCA，
∴AQ/OA=AP/OC,
即t/5=(2t-5)/4,
解得t=25/6，（滿足t＞2.5）
②若∠AQP=90°，則△APQ∽△OAC，
∴AQ/OC=AP/OA,
即t/4=(2t-5)/5,
解得t=20/3，（滿足t＞2.5）
綜上可知，當t=25/6或20/3時，△OAC與△APQ相似。
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