中考難點，定角定高几何模型進階精講，經典問題剖析攻克提升有策略
初中階段幾何最值問題中的定角定高几何模型。其中在不少各省市中考及模擬卷中均多涉及到，特別是近年五大模考高頻考點，多以填空、解答壓軸題為主，學生頻頻反映比較難，不知如何精準構造出輔助圓去求解問題
下文將從引例題設背景、分析思維、直觀感知及題解模型建立、計算步驟歸納等多角度、動圖演示為大家解讀其求解策略，希望對大家有所幫助。
模型引入：
如圖，直線AB外一點C，C到直線AB距離為定值（定高），∠ACB為定角。我們被這樣的模型根據其特徵稱為定角定高模型；又因為，其像探照燈一樣所以也叫探照燈模型。
思考：定角定高下，所構成幾何模型都哪些特徵？AB長的變化規律？△ABC周長變化特徵？△ABC面積變化特徵？
模型展示：
直觀感知：
定點定高模型：構成等腰三角形（AC＝BC）時：
（1）AB線段長度最小；（2）△ABC周長最小；（3）△ABC面積最小。
經典考題
1．（1）如圖①，已知線段AB，以AB為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；
（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD為AB邊上的高，若CD＝4，試判斷AB是否存在最小值，若存在，請求出AB最小值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖③，某園林單位要設計把四邊形花園劃分為幾個區域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6√2，點E、F分別為AB、AD上的點，若保持CE⊥CF，那麼四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由．
【分析】本題屬於三角形綜合題，考查了三角形的外接圓，解直角三角形，最值問題等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬於中考壓軸題．
（1）構造輔助圓，利用直徑所對圓周角相等解決問題即可．
（2）如圖2中，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，作OE⊥AB於E．設OA＝OC＝2x．求出x的最小值即可解決問題．
（3）如圖③中，連接AC，延長BC交AD的延長線與G，將△CDF順時針旋轉得到△CBH，作△CEH的外接圓⊙O．由（2）可知，當△CEH的外接圓的圓心O在線段BC上時，△ECH的面積最小，此時四邊形AFCE的面積最大．
【解答】：（1）如圖①中，△ABC即為所求．
（2）如圖②中，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，作OE⊥AB於E．設OA＝OC＝2x．
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，
∴OE＝1/2OA＝x，AE＝√3x，
∵OC+OE≥CD，∴3x≥4，∴x≥4/3，∴x的最小值為4/3，
∵AB＝2√3x，∴AB的最小值為8√3/3．
（3）如圖③中，連接AC，延長BC交AD的延長線與G，將△CDF順時針旋轉得到△CBH，作△CEH的外接圓⊙O．
∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，
∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），∴S△ACD＝S△ACB，
∵∠DAC＝45°，∴∠DCB＝135°，∴∠DCG＝45°，
∵∠CDG＝90°，∴CD＝DG＝6√2，
∴CG＝√2CD＝12，∴AB＝GB＝12+6√2，
由（2）可知，當△CEH的外接圓的圓心O在線段BC上時，△ECH的面積最小，此時四邊形AFCE的面積最大，
設OC＝OE＝r，易知OB＝EB＝√2/2r，
∴r+√2/2r＝6√2，
∴r＝6√2（2﹣√2），
∴EH＝√2r＝12（2﹣√2），
∴四邊形AFCE的面積的最大值＝2×1/2×（12+6√2）×6√2﹣1/2×12（2﹣√2）×6√2＝144．
2.（1）如圖①，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG，則BE，EF，FD之間的數量關係為______；
（2）如圖②，AB＝AD＝4，∠A＝∠C＝45°，請直接寫出四邊形ABCD面積的最積的最大值；
（3）如圖③，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，△DMN為等邊三角形，如果點M，N分別在菱形ABCD的邊AB，BC上運動，且點M不與點A，B重合，點N不與點B，C重合，則在點M，N運動的過程中，△BMN的面積是否存在最大值？如果存在，請求出面積的最大值；如果不存在，請說明理由．
【分析】（1）先判斷AE＝AG，BE＝DG，再判斷出∠FAG＝∠EAF，進而判斷出△EAF≌△GAF即可得出結論；（2）先判斷出BC＝BC'時，四邊形ABC'D的面積最大，即可得出結論；（3）先判斷出△DMB≌△DNC，進而判斷出當△DMN的面積最小時，△BMN的面積最大，即可得出結論．
【解答】：（1）EF＝BE+FD，
∵將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADG，
∴AE＝AG，BE＝DG，∠EAG＝90°，
∵∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAG＝∠EAF，
∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF，
∴EF＝FG＝FD+DG＝FD+BE，
故答案為EF＝FD+BE；
（2）四邊形ABCD的面積最大為8 ，
如圖，連接BD，作DH⊥AB於H，
∵∠C'＝∠C＝45°，
∴當C'B＝C'D時，△BDC'的面積最大，此時平行四邊形ABC'D的面積最大，
即：四邊形ABC'D是菱形，
在Rt△AHD中，∠A＝45°，AHD＝90°，AD＝4，
∴AH＝HD＝2√2，
∴S四邊形ABC'D＝ABDH＝8√2；
（3）存在，如圖③，連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD＝CD，DN＝DM，
∵∠BDM＝∠MDN﹣∠BDN，
∵∠CDN＝∠BDC﹣∠BDN，∠MDN＝∠BDC＝60°，∴∠CDN＝∠BDM，
∴△DMB≌△DNC，
∴S△DMB＝S△DNC，
∴S四邊形DMBN＝S△DBC＝1/2×4×4√3×1/2＝4√3，
∵S△BMN＝S四邊形DMBN﹣S△DMN，
∴當△DMN的面積最小時，△BMN的面積最大，
當DN⊥BC時，△DMN的邊長最短，
即：△DMN的面積最小，此時DN＝2√3，
即：S△DMN＝1/2×2√3×3＝3√3，
∴△BMN的面積的最大值為4√3﹣3√3＝√3．
解題策略：
1.等角定高模型中，當三角形面積最小值時，該三角形為等腰三角形，其定高是在對底邊的垂直平分線上，說定高過該三角形外接圓圓心。
2.等角可以看做是三角形外接圓的圓周角，因此它所對圓心角不變，往往要通過圓心角所在等腰三角形，結合垂徑定理來解直角三角形。
解題步驟：
1、找等角定高模型，題目中沒有直接給出，可以考慮構造；
2、作等角定高三角形的外接圓，圓心到等角的對邊的距離即弦心距d和半徑r的關係計算出來；
3、根據「 半徑與弦心距的和大於等於半徑r，求 r 的取值範圍；
4、用 含r的代數式 表示等角定高三角形面積，用 r 取值範圍求面積最小值。
解題反思：
做幾何題沒思路，是模型積累不夠的表現。幾何的基礎是圖形的性質，而不同的圖形性質可以搭建出各個模型，從而演化出我們熟悉的典型題目。在日常學習中，同學們如果只是粗略地將所有練習題做一遍，而拒絕總結歸類，可能最終並不會有太多收穫。更重要的是，在遇到模型疊加及綜合後，是否可以準確判斷出相關模型及切入點，決定了一道幾何題能否在規定時間內被攻破。
其次，不會做幾何輔助線，往往是對關鍵詞不敏感。做幾何題的重點在於多種模型綜合運用，對模型的熟練掌握直接體現為：題中出現關鍵字眼的時候可以馬上在腦中反應出多種做法，並挑選出正確的做法。此外，對幾何模型的掌握絕不能一知半解，否則很容易陷入錯誤解法的怪圈。 題目千變萬化，萬變不離其宗，看問題抓本質，勤思考多總結，定能收穫滿滿。