01原題再現
在平面直角坐標系xoy中，已知A，B為圓C：（x－m）^2+(y－2)^2=4上的兩個動點，且|AB|=2√3.
若直線L：y=－2x上存在唯一的一個動點P，使得向量OC=向量PA+向量PB，則實數m的取值範圍？
這道題含有的動點很多：一，給出的圓C的圓心是動的；二，給出圓C上的兩點A，B是動的；三，給出的直線y=－2x上的P點是動的。
除此之外，向量本身也是動的，而該向量是以已知的身份出現的，那這個已知又如何以動制動，將這些動點聯繫起來建立只關於m的等式呢？
那我們知道向量只要大小和方法確定了，而起點不確定，則該向量可以任意移動。
向量的好處，就在於向量能動，起點可以不固定，這樣我們就可以將毫不相干的直線擁有相同的起點或者終點，建立它們彼此之間的聯繫。
所以這裡解題的關鍵就可以將向量OC的起點轉化到P點上來，根據等式向量OC=向量PA+向量PB找出直線PA、PB和OC之間的關係，從而建立關係式，得出結果。
下面我們就一起來看看吧。
02該題的解析和具體步驟
第一步，根據題意畫出圖形。
因為圓C：（x－m）^2+(y－2)^2=4，則圓C的圓心為(m,2)，半徑為2，即圓C的圓心在直線y=2的直線上；
通過描點法得出直線y=－2x，在該直線任取一點得到P點；
在圓C上任取兩點A,B，且滿足|AB|=2√3，得出A，B兩點；
連接OC，PA，PB則有圖形二為
第二步，根據已知|AB|=2√3得出新的動態圓。
取弦AB的中點Q，連接CQ，則CQ⊥AB，AQ=BQ——圓心到弦的距離所在的直線垂直平分弦。
連接CA，且圓C的半徑為1，則CA=2.
在三角形CAQ中，根據勾股定理，則CQ=√3.
因為Q點也是動點，即隨著AB改變而改變，而CQ不變，則此時可以將CQ看成是動點Q到定點的C（相對靜止）的距離為1，所以Q點是在以C點為圓心，以1為半徑的圓上，即(x－m)^2+(y－2)^2=1上。
則出現了新的動態圓——(x－m)^2+(y－2)^2=1，即Q的運動軌跡。
這是一個巧妙的轉化，將動直線AB轉化成動點Q的軌跡。
第三步，根據向量關係得出建立等量關係。
因為Q是AB的中點，在三角形PAB中，根據向量加法的平行四邊形法則，則有
向量PA+向量PB=2·向量PQ。
而已知中又給出向量OC=向量PA+向量PB這樣的條件，則有
向量OC=2·向量PQ。
［解析］
當將向量OC的起點O移到P點時，向量OC恰好是向量PA和向量PB的所構成的平行四邊形的對角線。
通過該向量OC起點的移動，巧妙的將向量與向量PQ結合起來，建立了等量關係。
即上述的問題就轉化為當向量OC恰好成為向量PA和向量PB所構成的平行四邊形的對角線時，求此時m的值。
也就是說，給出向量OC=向量PA+向量PB這個條件，就是在告訴圖四中存在的關係，只是向量OC的起點不固定，將其直接放入圖二當中很難看出，也就加大了我們做題的難度，但是通過將向量OC的平移和向量加法的知識點的運用，該題就一目了然！
第四步，建立關於m的等量關係，求出m的值。
因為P點在y=－2x上的點，則設P坐標為(t,－2t)；
因為Q點在新動態圓(x－m)^2+(y－2)^2=1上，則設Q的坐標為(x,y)。
因為C點坐標為(m,2)，則向量OC=(m,2)。
向量PQ=(x,y)－(t,－2t)=(x－t,y+2t)。
由第三步可知，向量OC=2·向量PQ，則有
m=2(x－t)和2=2(y+2t)。
解得到x=m/2+t，y=1－2t。
將Q點代入新動態圓(x－m)^2+(y－2)^2=1中，則有
(m/2+t－m)^2+(1－2t－2)^2=1，整理得到
方程5t^2+(4－m)t+m^2/4=0.
因為P點是直線y=－2x上唯一的動點，所以t只有一個值。
所以有判別式△=0，即(4－m)^2－4×5×m^2/4=0——得到了只關於m的等式。
解得到m=－1+√5或m=－1－√5.
03總結
求解完後，我們知道該題實際就是問當滿足向量OC=向量PA+向量PB關係式的臨界點時，求m的值。
所以在不知道這些的情況下，從畫出的圖形上我們很難看出結果，只能依題意畫圖，根據向量知識點就挖掘和發現該已知中存在的秘密。
如果一開始就將O點與P點重合，該題也會降低難度，這裡也考察了向量可以移動的性質，以動制動，從而得出向量之間的關係式，構建等式得出結論。
但是這還需要注意的是，將Q點代入新動態圓時，得出的是含有兩個字母的方程，需要對P點是直線y=－2x唯一的點的理解，巧妙的將t去掉，得出了只含有m的方程。
這裡該存在一個巧妙的關係，就是將動直線AB轉化成中點Q的軌跡——這種轉化也是在做題中要注意的。
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