高中:向量簡單的加法隱藏著什麼已知條件?往往是解題的關鍵!

2020-12-16 玉w頭說教育

原題

原題：如圖，平行四邊形ABCD中，AC與BD交於點p，若3AP向量+BD向量=3BC向量，AB=AD=√3BC，∠CAD+∠ACB=5π/6，則CD/AB=？

圖一
圖二

上述的題中就給出了一個向量的加法，看到這個向量的加法，大多數同學都不知道該如何使用，也就無法挖掘出該向量加法中存在的已知條件，使解決這道題時，缺少條件而無法解答。

那對於向量的加法中會存在什麼已知呢？

向量加法中存在的已知

給出五個向量：向量a、向量b、向量c、向量m和向量n。

如果向量a+向量b=向量c，向量m+向量n=向量c，並且向量a和向量m方向相同，向量b與向量n方向相同，則向量a=向量m，向量b=向量n。

因為向量的加法不是實數那樣只加數值，兩個向量相加是兩個向量向第三個向量方向上的分解，所以一旦兩個向量的方向不變且和向量大小方向不變時，則這兩個向量的大小也是不變的。所以有上述的結論。

而向量的加法一般都是用在三角形中，所以在題中出現向量的加法時，儘量將這些向量轉化在三角形中。

該知識點在題中的運用

知道這個知識點後，我們就可以將3AP向量+BD向量=3BC向量轉化成AP向量+BD/3向量=BC向量，因為這樣向量BC就可以很容易地轉化到三角形中。

因為在三角形BPC中向量BP+向量PC=向量BC，且向量BP和向量BD方向相同，向量AP和向量PC方向相同。

所以可以得出向量AP=向量PC，向量BP=向量BD/3。

所以這道題實際上就是藉助向量的加法告訴我們點p不僅是四邊形ABCD對角線AC的中點，也是該四邊形對角線BD的三等分點。為解題帶來充分的已知條件。

具體的解題步驟

第一步，通過向量的加法3AP向量+BD向量=3BC向量得出點p的位置。

由3AP向量+BD向量=3BC向量得出AP向量+BD/3向量=BC向量；

因為在三角形BPC中向量BP+向量PC=向量BC，且向量BP和向量BD方向相同，向量AP和向量PC方向相同，所以向量AP=向量PC，向量BP=向量BD/3。

第二步，由正弦定理得出角的大小。

在三角形BPC中，有BP/sin∠ACB=BC/sin∠BPC；

因為∠CAD+∠ACB=5π/6和向量BP=向量BD/3，AB=AD=√3BC，在三角形APD中，有2BP/sin(5π/6－∠ACB)=√3BC/sin∠APD，得出∠ACB=π/3，∠CAD=π/2。

第三步，設出BC邊的值，得出CD/AB的值。

設BC=a，則有AB=AD=√3a。

在三角形ABC中，由正弦定理有BC/sin∠BAC=AB/sin∠BCA，得出∠BAC=π/6，所以三角形ABC時直角三角形。

根據勾股定理：在直角三角形ABC中，AC=2a；在直角三角形CAD中，CD=√7a。

所以CD/AB=√3a/√7a=√21/7。

圖三

總結

向量的加法看起來好像是一個普通的加法，實則其中還包含著很多的已知，因為它不止是有線段的關係還有方向之間的關係。

向量加法看起來有時感覺很難理解，其實所有向量的加法就像兩個力的合成。只不過力是向量中的一種，而向量包括的種類不僅僅是力而已。

在△ABC中有向量GA+向量GB+向量GC=0向量能得出一個什麼樣的已知？

詳細講解用法向量求二面角的過程

具體剖析正弦定理和餘弦定理的運用

正弦定理和餘弦定理的證明過程匯總和適用的條件

三角形各個心的匯總以及性質的證明過程

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