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01介紹
韋爾（Weyl）在他於1918年發表的一篇論文中介紹了愛因斯坦廣義相對論的擴展。在本文中，韋爾提出了消除向量在平行傳輸時保持其長度的限制。我們可以通過以下方式用數學方式表示：
其中g是對稱度規張量，是一個任意向量。如果我們對這個表達式求總的導數，得到：
如果假設zeta是一個常量向量，我們可以使用恆等式：
調整指數得到：
其中雙管表示度規的協變導數。在雷曼空間中，這個量消失了，所以dl的變化量為零。韋爾提出，我們可以通過類似於1.2的方式來改變矢量的長度：
把這個放回1.3，我們可以推導出向量和度規的協變導數之間的關係：
這個結果使得韋爾可以通過把矢量和電磁場聯繫起來，並通過提出一個不同於經典廣義相對論的拉格朗日量，推導出一個幾何意義上的電磁學。當允許度規縮放並要求我們所有的方程都獨立於那個縮放因子時，等式1.5也可以被推導出來。在這個過程中，韋爾將其定義為「規範不變量」。
雖然這一理論完成了將麥克斯韋方程的數學與愛因斯坦方程相結合的任務，但它也有一系列的問題。對於初學者來說，在韋爾幾何中，唯一的靜態長度向量是那些垂直於韋爾向量的向量。這與我們可以用常數長度測量的許多向量相反。
此外，愛因斯坦自己也指出，一個參考系的時間流逝將取決於該參考系的運動歷史，而不僅僅是它的位置，這意味著在空間和時間上同一點的兩個時鐘可能以不同的速度移動，在自然界中從未觀察到的東西。
02復維空間
雖然時空限制了我們的幾何結構，使得韋爾的理論是非物理的，但在復維度中卻不存在這樣的限制。如果我們選擇把旋量看作是復空間中的向量，我們就可以探索時空只是這個空間的一個投影。
這意味著復空間中的幾何是力和時空現象的原因。把物理定律寫成復空間中的張量方程，自然會使規範不變性與廣義相對論相融合。
復空間與實空間的區別主要在於復共軛。柯西-雷曼清楚地表明，我們必須把共軛作為完全不同的變量來對待。為了做這個區分，我們的符號會在任何共軛變量或指標上加一個橫槓，我們會用拉丁變量來區分時空變量和複雜變量。
首先，我們將引入一個復空間的度規。我們的度規是厄米矩陣所以平方長度是實值。我們這樣做的原因是為了符合量子力學中的算子。這就得出了一個類似於1.1的方程：
就像時空度規一樣，我們可以用s來提升和降低指標。下面是復度量的一些恆等式：
我們現在可以對2.1的總導數：
如果我們假設是一個常數向量我們可以使用恆等式：
為了清晰起見，我們將空間分配一個仿射連接，類似於我們在時空中所看到的。
我們要注意不要把張量和矢量限制為z的函數，而不是它的共軛。接下來我們也會像韋爾一樣，讓復向量的長度在平行移動時發生變化：
把它代入總導數然後分離出z和z*項：
固定長度的向量在時空中也垂直於韋爾向量：
2.5是兩個向量的內積的復空間形式。
仿射連接
現在我們繼續求解2.4中的連接項W。讓我們把這個方程改寫成更簡單的形式：
我們可以把這個簡化版的W分成兩部分。一個是前兩個指標中的厄米矩陣，另一個是反厄米矩陣。
h的值是未知的，不能直接從2.4中求出。它們暫時被認為是我們理論的自由變量。同樣，我們可以看到，這個解在下標上是不對稱的，就像時空中的情況一樣。這導致了我們幾何中的一個扭轉元素。
規範不變性
讓我們花點時間看看理論中的規範不變性。規範變換是對度規的調整，而不是對坐標的調整。我們將在下一節中討論坐標變換。
是復變量及其共軛的函數。因為s是厄米矩陣，我們必須要求是實值函數。這很容易證明。
由此我們可以很容易地推導出逆變度量的規範變換
我們可以把這些代入2.6，如果我們要求我們的協變導數也是規範不變的，我們可以確定規範變換對韋爾向量的影響：
在下一節中，我們將看到坐標更改也可以為仿射連接產生類似的結果。
坐標的變化
複雜空間中的向量以一種非常類似於時空中的向量的方式變換：
這裡我們應該注意到，我們排除了複數共軛作為坐標變換的一種形式。加上它不僅會使我們的方程變得非常混亂，而且也沒有必要。這是因為共軛可以在坐標變化過程的任意點作為一個單獨的變換來完成，並且只會導致常規指標與禁止指標的交換。換句話說，如果一個坐標變化涉及到共軛，可以簡單地先執行那個變化，然後按照2.9中描述的方式應用其餘的坐標變化。
2.9中的轉換可以很容易地擴展到度量：
按照這個模式我們可以把它應用到所有的張量上。在時空情況下，仿射連接不是一個張量，變換如下：
記住這一點，我們可以執行一個簡單的坐標更改並查看一些結果。最簡單的凡例子是相變：
這導致我們的仿射連接改變為：
這類似於2.8，但包含一個虛構的組件，使它更適合作為可能的電磁類型的相互作用。在我們能夠從複雜空間中對時空進行必要的投影之前，我們無法看到直接的比較，但2.13和2.8顯示出了巨大的希望。
03復曲率
和時空一樣，我們可以構造一個曲率張量r的複雜維度等價項。
使用2.6，我們可以把這些張量寫成未知數的形式：
我們也可以用通常的方法縮並曲率張量C來得到裡奇等價：
所有這些因素都是規範不變的，因為我們的仿射連接是規範不變的。
韋爾的理論的挑戰之一是構造一個規範不變的拉格朗日量。如果我們假設我們的複雜空間是二維的，我們可以結合2.7和3.3來創建一個規範不變的動作，它通常也是協變的：
s值是度規張量的行列式。這就得到了拉格朗日量：
這個值滿足我們所有的要求。它是實值的，在復共軛下不變，在坐標變換下不變，在韋爾規範變換下不變。
04投影時空
在解出3.5之前，讓我們先看看如何從我們的空間投射到時空。我們空間的度量是厄米度量，這意味著它最多包含4個實值未知數。讓我們選擇一個特定的地圖來說明這個事實。首先，我們創建4個靜態矩陣，每個矩陣都具有相同的厄米矩陣性質:
使用這些(泡利矩陣)，我們可以把我們的度規寫成一個和：
因為泡利矩陣構成一個向量基，所以s的元素構成一個4向量。我們也可以利用這個事實來構造當我們在複雜空間中進行坐標變換時這個向量是如何變換的。
很容易驗證坐標的變化，不會對我們的4向量空間造成任何變化。泡利矩陣的性質也允許我們用4向量s表示度規的行列式：
我們的度規的規範變換導致這個4向量的簡化：
我們也可以用復向量來構造一個4向量，方法如下：
我們可以使用4.5來關聯空間之間的仿射連接。然而，在此之前，我們需要一種機制來將導數聯繫起來。這可以簡單地做到以下幾點：
我們現在可以做出如下推測:如果一個復向量是常數，那麼4.5構成的向量也將是常數……
那麼，使左側為常數表示：
我們可以簡化這一點，如果我們創建以下：
4.9還允許我們寫出復向量的時空協變導數:
4.11與我們從自旋連接中得到的緊密相關。我們可以用4。10寫出時空曲率張量和我們的複雜空間之間的關係。我們只需要使用以下方法並執行適當的導數：