上帝經常和人類開玩笑。他早早地派來一個牛頓，點亮了科學殿堂角上的一個小火把，卻讓無數個大門緊鎖的房屋，仍然隱藏於深邃的黑暗之中。牛頓之後將近兩百年，人類在其火把的照耀下忙乎了一陣子，看清楚了周圍不少景觀，將牛頓的物理及數學方面的理論發揚光大，同時也發展了多項技術，掀起了工業革命，正興致勃勃地用新的科學技術建造一個更具現代特色的文明社會。然而，上帝總想在人類科學殿堂上玩點兒什麼花招。於是來了個數學家黎曼(Bernhard Riemann，1826—1866年)，他造出了一把精妙絕倫的鑰匙，將它交給人類後，年紀輕輕便瀟灑地駕鶴西去。可是，誰也不知道這個精美的鑰匙有何用途？能開啟殿堂中的哪扇大門呢？時光荏苒，又過了半個世紀……
愛因斯坦來到了這個世界，他最感興趣的事就是探索上帝的思想和意圖，想了解上帝到底在開些什麼玩笑？玩點什麼花招？儘管愛因斯坦小時候不像是個神童，但後來也並非「大器晚成」，他26 歲就以解釋光電效應和建立狹義相對論而一鳴驚人。
狹義相對論是基於愛因斯坦認為最重要、最具普適性的兩個基本原理：相對性原理和光速不變原理而建立的，它使用洛倫茲變換，將麥克斯韋的電磁理論天衣無縫地編織進他的新時空理論中。
根據狹義相對論，時間和空間不再是獨立而絕對的，閔可夫斯基的四維時空將它們聯繫在一起。在這個理論框架裡，所有相對作勻速運動的慣性參考系都是平權的，物理定律在任何慣性參考系中都具有相同的形式。這點似乎完美地滿足了愛因斯坦的相對性觀念。但是，仔細想想問題又來了，除了慣性參考系之外，還有非慣性參考系呢，比如說，在一個加速參考系中的物理規律是否也應該與慣性參考系中物理規律形式一致呢？
上帝不應該只是偏愛那些被挑選出來稱之為「慣性參考系」的系統吧，況且，哪些參考系有優先權作為「慣性參考系」呢？既然對慣性參考系而言速度只有相對的意義，難道還有理由把加速度當作絕對概念嗎？愛因斯坦建立了狹義相對論之後，立即意識到這些問題。這種「狹義」的相對性原理，似乎仍然沒有真正擺脫「絕對參考系」的困惑，只不過是用了多個「絕對」替代了原來的一個「絕對」而已。因此，這個「狹義相對性」的概念必須推廣。此外，愛因斯坦也經常思考「引力」的問題：如何才能將萬有引力也包括到相對論的框架中？
最簡單的非慣性參考系是相對慣性系統作直線勻加速運動的參考系。從最基本的原理和最簡單的情形出發來思考問題，從來就是愛因斯坦的特點。
科學研究最重要的原動力是什麼？不是對功成名就的嚮往，不是對物質利益的追求，也不是出於對大師前輩的膜拜或想要出人頭地的願望。就愛因斯坦而言，最重要的是他對大自然始終保持著的那顆如孩童般純真的好奇心。不可否認，光電效應的理論探索帶給他榮譽；狹義相對論和廣義相對論的建立帶給他滿足，但只有這種始終如一的好奇心，才能支持他後半生持續鑽研統一理論四十年如一日終究未成正果卻無怨無悔。也許，這才是愛因斯坦「天才」的奧秘所在。
回到非慣性參考系和引力方面來思考。凡是有一點點物理知識的人，都知道義大利的比薩斜塔，在物理上伽利略因為在那兒做的「自由落體」實驗而著名。伽利略的實驗證明了，地表引力場中一切自由落體都具有同樣的加速度。也就是說，不管你往下丟的是鐵球還是木球，都將同時到達地面。後來又有一種看法，說伽利略本人並未做過此斜塔實驗，但這點並不重要，斜塔實驗所證明的物理規律是公認的。後人進行過多次類似的實驗，還不僅僅在地球上做，據說1971 年，阿波羅15 號的太空人大衛·斯科特在月球表面上將一把錘子和一根羽毛同時扔出，兩樣東西同時落「月」之後，他興奮地對地球上的數萬電視觀眾喊道：「你們知道嗎？伽利略先生是正確的！」
不知上述的阿波羅月球實驗是否屬實，但無論如何，愛因斯坦先生認識到伽利略斜塔實驗的重要性，因為它首先可以被表述為「慣性質量等於引力質量」，繼而又進一步地推論到加速度與引力間的等效原理。對此原理，愛因斯坦曾經說過：
「我為它的存在感到極為驚奇，並且猜想其中必有可以更深入了解慣性和引力的關鍵。」
何謂慣性質量，又何謂引力質量呢？簡言之，牛頓第二定律F=ma中的m是慣性質量，它表徵物體的慣性，即抵抗速度變化的能力，而引力質量則是決定作用在物體上的引力(如重力)大小的一個參數。在伽利略的自由落體實驗中，與引力質量成正比的地球引力，克服慣性質量而引起了物體的加速度。這個加速度應該正比於兩個質量的比值(b=m 引力/m 慣性)。正如實驗所證實的，下落加速度對所有物體都一樣，這意味著兩個質量的比值對所有物體都一樣。既然對所有物體都相同，兩者的比例係數b 便可以選為1，說明這兩個質量(m引力和m慣性)實際上是同一個東西。這個看起來平淡無奇的結論卻激發了愛因斯坦的好奇心，他認為其中也許深藏著慣性和引力之間的奧秘。
愛因斯坦設計了一個思想實驗來探索這個奧秘。下面的說法不見得完全等同於他原來的描述，但實驗的基本思想是同樣的。考慮一個觀察者處於兩種不同的情況：一種是如圖1(a)所示，設想在沒有重力的宇宙空間中，觀察者的飛船以勻加速度a=9.8 m/s2上升，這時候觀察者將會感到一個向下的力(F=ma)。這種效應和我們坐汽車時經歷到的情形一樣：如果汽車向前加速的話，車上乘客會感覺一個相反方向(向後)的作用力，反之亦然。另一種情形是由圖1(b)描述的，觀察者站在靜止於地球表面的飛船中，感覺到重力=mg(重力加速度g=9.8 m/s2)。因為圖1(a)中飛船的上升加速度與圖1(b)中地面上的重力加速度數值相等，被關在飛船中的觀察者看不到外面的情形，他無法區分他是在以勻加速度上升的飛船中，還是在地面的引力場中。因此，圖1(a)和圖1(b)對觀察者來說，效果相同，或者說，加速度和引力場是等效的。
再進一步考慮如果有光線從外面水平射進宇宙飛船時的情形，在圖1(a)的情況，因為飛船加速向上運動，原來水平方向的光線在到達飛船另一側時應該射在更低一些的位置。因此，加速運動飛船中的觀察者看到的光線是一條向下彎曲的拋物線。然後，既然圖1(b)所示的引力場是與圖1(a)等效的，那麼，當光線通過引力場的時候，也就應該和加速運動飛船中的光線一樣，呈向下彎曲的拋物線形狀。也就是說，光線將由於引力的作用而彎曲。
圖1 等效原理(a)加速上升的宇宙飛船；(b) 地面上向下的引力場
光線在引力場中彎曲的現象也可以從另一個角度來理解，可以認為不是光線彎曲了，而是引力場使得它周圍的空間彎曲了。或者更為準確地表達是，沿用相對論的術語，叫做「時空彎曲了」。光線仍然是按照最短的路徑傳播，只不過在彎曲的時空裡的最短路徑已經不是原來的直線而已。
從引力與加速度等效這點出發，還可以推論出另一個驚人的結論：引力可以通過選擇一個適當的加速參考系來消除。比如說，一臺突然斷了纜繩的電梯，立即成為一個自由落體，將會以等於9.8 m/s2的重力加速度g 下降。在這個電梯中的人，會產生感覺極不舒服的「失重感」。不僅僅自己有失重感覺，也會看到別的物體沒有了重量的現象。也就是說，電梯下落的加速度抵消了地球的引力，這其實是我們在如今的遊樂場中經常能體會到的經歷。愛因斯坦卻從中看出了暗藏的引力奧秘：引力與其他的力(比如電力)大不一樣。因為我們不可能用諸如加速度這樣的東西來抵消電力！但為什麼可以消除引力呢？也許引力根本可以不被當成是一種力，就像前面一段所想像的那樣，可以將它當成是彎曲時空本來就有的某種性質。這種將引力作為時空某種性質的奇思妙想，將愛因斯坦引向了廣義相對論。
開始的時候，愛因斯坦只是按照上面的思路，企圖將引力包括到狹義相對論的框架中。不過，他很快就意識到碰到了大障礙。一個均勻的引力場的確可以等效於一個勻加速度參考系。但是，我們的宇宙中並不存在真正均勻的引力場。根據萬有引力定律，引力與離引力源的距離之間遵循平方反比律的關係。也就是說，地球施加在我們頭頂的力比施加在雙腳的力要小一些。並且引力的方向總是指向引力源的中心，即作用在我們身體右側和左側的引力方向並不是完全平行的。我們在地球表面感到「重力處處一樣」的現象只是一個近似，是因為我們個人的身體尺寸，比起地球來說是太小了，我們感覺不到重力在身體不同部位產生的微小差異。然而愛因斯坦需要建立宇宙中引力的物理數學模型，就必須考慮這點了。在大範圍內，這種差異能產生明顯的可見效應。比如說，我們所熟知的地球表面海洋的潮汐現象，就是因為月亮對地球的引力不是一個均勻引力場而形成的，見圖2(a)。
圖2 潮汐力和地球的引力(a)月亮對地球引力不均勻形成潮汐力；(b)地球的引力
潮汐力的名詞來源於地球上海洋的潮起潮落，但後來在廣義相對論中，人們將由於引力不均勻而造成的現象都統稱為潮汐力。
儘管上述「愛因斯坦飛船」的思想實驗描述了如何用一個勻加速參考系來抵消一個均勻的引力場，但是實際上的引力場卻是非均勻的，不可能使用任何參考系的變換來消除。圖2(b)顯示出地球的引力場，在4 個方向需要4 個不同的勻加速參考系來局部等效地近似描述。
這個問題困惑了愛因斯坦好幾年，直到他後來得到他大學的同窗好友、數學家格羅斯曼的幫助為止。根據格羅斯曼的介紹，愛因斯坦才驚奇地發現，原來早在半個世紀之前，黎曼等人就已經創造出了他正好需要的數學工具。黎曼幾何這把精美的鑰匙就像是為愛因斯坦的理論定做的，有了它，愛因斯坦才順利地開啟了廣義相對論的大門。
本文選自《物理》2016年第3期
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