【經典課件】高二數學選修4-5第二章證明不等式的基本方法 2.1 比較法
附：普通高中數學課程標準（實驗）選修1-2部分
在自然界中存在著大量的不等量關係和等量關係，不等關係和相等關係是基本的數學關係。它們在數學研究和數學應用中起著重要的作用。
本專題將介紹一些重要的不等式和它們的證明、數學歸納法和它的簡單應用。本專題特別強調不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數學本質的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。
內容與要求
1. 回顧和複習不等式的基本性質和基本不等式。
2. 理解絕對值的幾何意義，並能利用絕對值不等式的幾何意義證明不等式
3. 認識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。
（通常稱作平面三角不等式）。
4. 用參數配方法討論柯西不等式的一般情況。
5. 用向量遞歸方法討論排序不等式。
6. 了解數學歸納法的原理及其使用範圍，會用數學歸納法證明一些簡單問題。
7. 會用數學歸納法證明貝努利不等式。了解當n為大於1的實數時貝努利不等式也成立。
8. 會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數的極值。
9. 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。
10. 完成一個學習總結報告。報告應包括三方面的內容：（1）知識的總結。對本專題介紹的不等式中蘊涵的數學思想方法和數學背景進行總結。（2）拓展。通過查閱資料、調查研究、訪問求教、獨立思考，進一步探討不等式的應用。（3）對不等式學習的感受、體會。
說明與建議
1. 在本專題教學中，教師應引導學生了解重要的不等式都有深刻的數學意義和背景，例如本專題給出的不等式大都有明確的幾何背景。學生在學習中應該把握這些幾何背景，理解這些不等式的實質。
2. 利用代數恆等變換以及放大、縮小方法是證明不等式的常用方法，例如，比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等，在很多情況下需要一些前人為我們創造的技巧，對於專門從事某些數學領域研究的人們掌握這些技巧是極為重要的。但是，對大多數學習不等式的人來說，常常很難從這些複雜的代數恆等變換中看到數學的本質，對他們更為重要的是理解這些不等式的數學思想和背景。所以，本專題盡力使用幾何或其他方法來證明這些不等式，使學生較為容易地理解這些不等式以及證明的數學思想，不對恆等變換的難度特別是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教學陷在過於形式化的和複雜的恆等變換的技巧之中。要求教材的編寫者和教師不要選擇那些代數恆等變換比較複雜或過於技巧化的問題或習題。
3. 數學歸納法是重要的數學思想方法，教師應通過對一些簡單問題的分析，幫助學生掌握這種思想方法。在利用數學歸納法解決問題時，常常需要進行一些代數恆等變換。要求教材的編寫者和教師不要選擇那些代數恆等變換比較複雜或過於技巧化的問題或習題，以免衝淡了對數學歸納法思想的理解。