表面積和體積,就沒見過這麼耐心的解釋!

              

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原創實不易

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公眾號：「素人素言」，作者：彭西東

主要還是源於高一新生初識立幾，想給他們增加一點空間想像力的素材。但總體來說，對於學生和一線教師，也還是有值得一看地方。

直稜柱的側面展開後，整體的外觀形狀是矩形。

所以，直稜柱的表面積就比較方便計算了，

直稜柱表面積=側面積+2×底面積

直稜柱側面積=底面周長×稜柱高

斜稜柱的側面展開，整體上看，就不是那樣規則的平面圖形了。

就象上面這個斜六稜柱，展開後給人的感覺，歪七扭八的，挺不規則。

因此，它的側面積，也只能逐個計算，毫無章法可言。

不過，這還是幸虧各個側面還是平行四邊形。

正稜錐的側面展開確實也還算是規則的，畢竟各個三角形的底和高都是一樣的，甚至給人一種扇形的感覺。

或者，給人一種什麼LOGO的感覺？

所以，它的表面積也從來沒有愁煞人的。

但是，一般稜錐的展開，是不是就會讓人糾心了呢？

確實，不僅展開後各三角形的排列毫無規則，而且最要命的，它們的面積也不是一般的學生可以計算的吧。

因為，在沒有學習三角函數知識之前，好象他們只會求解等腰或直角三角形面積。

正方體的展開，確實就讓人心曠神怡了。

不僅因為各面都是正方形，

更因為，正方體的展開多達十一種姿勢呢。

我想，有能力的同學，能夠憑藉自己的想像，做出這11種展開圖，也一定算是一種高水平了。

至少，可能比我這個老師強。

所以，正方體的展開圖，曾經就是一個很火的網紅話題。

而且，年少輕狂時，就曾經不厭其煩的研究這個話題，

也確實是很有成就感的。

正方體十一種展開圖

圓錐，一定是大家所熟知的一個旋轉體，

而且也知道，它的側面，展開後是一個扇形。

涉及到相關的計算，其實也並沒有什麼稀奇。

圓錐表面積=底面面積+側面積

扇形弧長=圓錐底面圓周長

扇形半徑=圓錐母線長

因為，有了這些，就完全可以肆無忌憚了。

圓柱是由矩形經過旋轉而形成的。

它的側面展開更是我們所喜歡的長方形（矩形）。

當然，要想計算好，也還是要一定的準備知識。

圓柱表面積=兩底面面積+側面積

矩形長=圓柱底面圓周長

矩形寬=圓柱的高（母線長）

這樣，對於圓柱，是不是就高枕無憂了呢？

其實，圓錐和圓柱，以後還有一個更重要的作用，

傳說中學生最忌憚的圓錐曲線，其實就是它們派生出來的小惡魔。

球是由曲線半圓或圓旋轉線而成的，

所以，它的展開其實並不容易。

甚至可以說，球是不能完全展開成平面圖形的。

這就象一個足球，我們就很難將它剪開、無皺褶的平攤在桌面上的。

當然，如果真的想要將其展開的話，數學老師則是有更高更妙的方法。

例如採用下面的這樣的手段，就可以達到很完美。

足球的展開

其實，球的表面積和體積公式的推導，在我們以後學習了《數列》後，你也可以如我一樣瀟灑的掌握。

而且通過嘗試，也可以檢驗下自己的計算和思維水平。

當然現在，關於面積，

你只需記住面積公式就可以了：

球的表面積=4πr2

另外，也強烈建議，務必熟知球中的基本圖形，

也就是構造的那個直角三角形。

其實，我們打小就知道，長方體的體積：

V=底面積×高

我想說的是，

在長方體中常見的計算，一定還有體對角線：

BD'2=a2+b2+c2

意思就是，體對角線的平方，等於各邊的平方和。

只是讓我蒙圈的是，

那天上課，問到對角線的問題，竟然很多學生覺得很無辜。

所以，千萬不要高估，義務教育階段的水平。

長方體是一個極特別的稜柱。

其實，和長方體一樣，無論直稜柱或斜稜柱，它的體積也都是：

V=底面積×高

只是直稜柱的高即為側稜長，而斜稜柱的高，需要構造三角形去計算。

都知道稜錐的體積：

其實就是說，

稜錐的體積是同底等高稜柱體積的三分之一。

可是，你真的確定，這個「三分之一」的出處？

其實，圓柱、圓錐的體積和稜柱、稜錐相同：

而且這樣，記憶起來會更方便和簡潔。

球的體積，說難也易，其實只要做些技術處理。

就象圖示，切割求和而得之。

但畢竟，需要用到極限和數列的後備知識，

想想還是老老實實加強記憶。