在中考數學中，一次函數和二次函數是必考點，而且經常會綜合起來，再結合幾何圖形的面積、一元二次方程或者方程組來考察，而不少同學一看到這種題就很頭疼。實質上是因為大家天然的畏懼心理，以及沒有掌握合適的解題技巧。下面我分享這道題，希望能夠對大家有所幫助。
中考數學函數綜合考察題
已知拋物線y=ax2 +2ax - 3a(a為常數，且a>0)與x軸分別交於A、B兩點(點A在點B的左側)，該拋物線的頂點為P。
(1) 求線段AB的長。
(2) 將該拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，其餘部分保持不變，翻折後形成一個「W」形狀的新圖像，點P的對應點為Q。直線AQ與拋物線y =ax2 +2ax-3a的另一交點為C。
① 設直線AQ的解析式為y=mx +n，求方程 | ax2+2ax-3a | -mx -n=0 的 解；
② 隨著a值的變化，△ABQ與△OCQ面積的比值是否發生變化，若不發生變化，請求出它們的比值；若發生變化，請說明理由。
（為防止文字格式排版異常影響大家閱讀，我們將題目附圖如下）
解題思路分析
本題沒有提供圖形，所以我們建議大家一定要先繪製出草圖，因為a大於0，所以，拋物線開口朝上，且與x軸有兩個交點，可以通過求根公式或因式分解等方法求出兩個根。求出兩個根以後，第（1）小問線段AB的長也就迎刃而解。
因為每一項都有a，所以因式分解最快。y=ax2+2ax - 3a=a(x-1)(x+3)。由題意點A在點B的左側，令y=0，求得xA=-3，xB=1。故線段AB的長為|AB|=|xB-xA|=4。
第（2）小問：根據題意，拋物線頂點P點的坐標，可以通過對稱軸及拋物線方程求出，也可以通過二次函數頂點公式求出。P點關於x軸的對應點Q也能隨之求出。
點A、點Q兩點的坐標求出來後，可以確定直線AQ的解析式。進而連立方程，解方程組，可以求出直線AQ與拋物線的交點C。
而第（2）小題第①小問：設直線AQ的解析式為y=mx +n，求方程 | ax2+2ax-3a | -mx -n=0的解。可以轉換為求方程 | ax2+2ax-3a | = mx +n的解。因為y=|ax2+2ax-3a|實質就是拋物線x軸下方的圖象沿x軸翻轉到x軸上方後形成的「W」形狀的新圖像，而y=mx +n是直線AQ的圖像。故只需要求一次函數和「W」形狀的函數圖像的交點，求出交點後交點的x坐標就是此方程的解。也就是交點A、Q和C的x坐標。
第（2）小題第②小問：△ABQ的面積，等於|AB|×yQ÷2，△OCQ面積稍微有點麻煩，是這道題稍微的麻煩點之一，需要大家轉換。假設直線AQ與y軸交點為D，則△OCQ的面積，等於yD×|xC-xQ|÷2（當然，如果大家這個理解不了，也沒關係，可以用梯形面積-下方兩個三角形面積得到）。將x=0代入直線AQ的解析式就可以求出yD，C點和Q點的x坐標上面已經可以求出。所以接下裡就很簡單了，看△ABQ與△OCQ面積的比化簡後到底是什麼，就知道結論了。
完整解答過程
回顧下這道題，實質不難，屬於基礎應用題型，這種題一定不能丟分，而且速度要極快，為了便於大家理解，我們上述解題過程寫得極為詳細，實際考試中很多步驟都可以省略。
另外，我們希望大家養成回顧總結的習慣，每做完一道題，反思下出題老師的初衷、意圖，這樣的話，以後每拿到一道題大概知道出題老師的目的，應該如何應對，如何解題。這道題考察點覆蓋：因式分解（或求根公式）、絕對值的幾何意義、一次函數、二次函數、函數圖像與方程解的關係、解一元二次方程、解方程組、三角形面積、梯形面積等。而我們破解的首要任務在於第一步正確繪製草圖，輔助理解。之後步步為營，逐個擊破。
有問題的同學，歡迎給我們留言。最後，關於教學方式方法、學習方式方法，有更好心得體會的，歡迎與我們交流。後續我們會陸續更新中小學理科相關內容，請持續關注！