今天給大家帶來的科普知識是超複數，複數大家都知道，但是超複數就不一定了。不過從名字上應該就可以看出來，這是比複數還要"厲害"的數了吧？的確如此，不過貌似複數還沒整明白呢，又出現了超複數，是不是有感覺自己又要掉頭髮了。沒關係，今天小編帶著大家以看一看的心態來了解一下超複數，保證你至少能夠學(ji)到(zhu)一(ta)些(de)幹(ming)貨(zi)。
來簡單看一下數系的發展歷史（又名「辛酸的學習歷程」），我們在對數的認識和學習上其實也算是重演了數系的發展。
自然數是人類歷史上最早出現的數，可以追溯到五萬年前，起源於人們對計數的需要。我們最開始接觸數學就是從數數開始的。
上了小學，由於學習到了減法，我們接觸到了負數，因而對數的認識也從自然數擴展到了整數。
而除法又再一次擴充了數的範圍，分數得以產生，此時我們對數的所有認識也就是有理數。在古希臘時期，人們就認為有理數就是所有的數。
初中時我們學習了最基礎的幾何定理——勾股定理，然後知道了根號2這個數，這是我們認識無理數的開始。
（這裡再叨叨一下題外話，剛開始知道無理數的時候，小編也確實有些無法接受。可是最先提出根號2是無理數的人——畢達哥拉斯學派的弟子希勃索斯，因為與畢氏學派「萬物皆為數（指有理數）的哲理相違背，動搖了他們在學術界的統治地位，因此被囚禁，最後競遭到沉舟身亡的懲處。但是，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是「無理」，為了紀念這位為真理而獻身的學者，並將這類不能表示為兩個整數之比的數命名為無理數。）
無理數和的承認是數學發展史上的一個裡程碑，至此，數系就擴大到了實數的範疇。
之後，無實數根的一元二次方程又引入了虛數的概念，它的概念產生於負數開偶次方根。其實在中學階段我們對虛數的認識大概也就停留於它只是一個表示的形式而已，好像沒有什麼實際的意義。包括在在公元18世紀初，萊布尼茲也說」虛數是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩柄物"。後來，將實數和虛數合併為複數，之後又有了複平面的概念，複平面的提出為複數提供了幾何解釋。
目前我們對數的認識基本就到達了複數這一層面，然後這還不是最大的數系，Hamilton對四元數的發明開啟了超複數的先河。
要回答這兩個問題，我們先來回顧一下複數的概念。
複數是由實數加上虛數單位i組成（a+bi，其中i^2=-1,a和b是實數），複數也可稱為二元數。相似地，四元數是實數加上三個虛數單位i，j，k組成
(a+bi+cj+dk，其中i,j,k滿足：i^2=j^2=k^2=-1,i^0=j^0=k^0=1,a,b,c,d都是實數）。
到這裡你或許恍然大悟了，按照這種方式構造的話，那應該還有三元數，五元數，六元數等吧？答案卻是否定的。
事實上Hamilton在研究擴展複數到更高的維次（複數可視為二維平面上的點）時，就先是在三維空間上研究，然而無法得到三元數。
若三元數存在並是寫成a+bi+cj和d+ei+fj的形式，則兩者的乘積為
(a+bi+cj)(d+ei+fj)=（ad-be-cf)+(ae+bd)i+(af+cd)j+bfij+ceji
要求乘法封閉，那麼結果仍為三元數，那麼應假設ij=ji=0，但這就會產生一些不完美的性質，例如
（1）模運算不是完全成立（|ij|≠|i||j|);
（2）結合律不成立（（ij)j≠i(jj)）；
三元數一直構造不出來，但是Hamilton卻在某天散步時靈光乍現，想出了i^2=j^2=k^2=-1的方程解，並隨之推廣了四元數。
目前數學家們已經給出的結論是，我們可以引進2^n元數。n=0對應著實數，n=1對應著複數，n=2，3，4時分別對應著四元數（Hamilton代數），八元數（Cayley代數）以及十六元數（Clifford代數）。這一類數統稱為超複數。
先看最簡單的實數，實數可以用數軸上的點來表示，實數系的加減運算可以理解成為質點在實數軸上的左右移動。
而在二維空間中，質點的運動方式除了平移還有旋轉。所以，當我們將實數域擴大到複數域時，複數域的加減描述了質點的平移，乘除描述了質點的旋轉，從而將複數上的運算和二維空間中質點的運動聯繫了起來。
按照這種思路，自然能夠想到超複數的加減可以表示坐標的平移，數乘可以表示對向量模的縮放，乘積能夠表示旋轉。平移和旋轉倒是能夠很容易且直觀地驗證是正確的，但是旋轉就不是那麼簡單了。
如果將複數域擴大，應該可以得到「三維複數」和三維空間中質點運動的聯繫，然而事實上「三維複數」只能描述質點的平移，而不能實現質點的旋轉，但「四維複數」卻能夠精確地描述質點在三維空間中的運動。
根據向量叉乘可以定義下列一些關係：ij=k, jk=i, ki=j.
i叉乘j可以理解為向量j繞i逆時針旋轉90度。因此，我們還有ji=-k, kj=-i, ik=-j, 其實從這裡就可以看出四元數的乘法是不滿足交換律的，即從複數到四元數交換律不再成立（PS：實數到複數，少了能比較大小的性質，四元數到八元數少了乘法結合律這一性質）。
考慮這樣一個單位四元數：
h=a+bi+cj+dk
（其中a,b,c,d滿足a^2+b^2+c^2+d^2=1)，如果記
a=cos(α/2)，
那麼可以將這個四元數改寫為
h=cos(α/2)+xsin(α/2)i+ysin(α/2)j+zsin(α/2)k,
此時顯然有x^2+y^2+z^2=1。
直觀來講，如果我們要描述質點P在三維空間中的旋轉，有一種方式是利用兩個信息，一個是旋轉軸的方向，另一個是旋轉的角度。而h=cos(α/2)+xsin(α/2)+ysin(α/2)+zsin(α/2)剛好擁有這兩種信息，α表示角度，（x,y,z)表示旋轉軸方向，這給了我們提供四元數與旋轉之間存在聯繫的思路。
純四元數：如果四元數只有虛數部分，沒有實數部分，這樣的四元數稱為純四元數，它實現了與三維空間中向量的一一對應。
表示了向量v表示繞方向軸u旋轉角度α得到向量v'.
一般的單位四元數不能把純四元數映射成為純四元數，也即只進行一次乘積不能實現從從三維空間到三維空間的變換，實際上是變換到了四維空間中的向量，Hamilton發現再乘一次q的共軛可以將其再從四維空間變回到三維空間，即得到純四元數。
從上一個問題以及式子上可以看出實際上進行了兩次旋轉，且兩次旋轉的角度相同，因為每次只旋轉了α/2角度，所以將q寫成α/2的形式。
四元數只是三維空間上表示質點旋轉的一種方法，其他主要的方法還有歐拉角表示方法和旋轉矩陣表示方法，並且它們之間可以進行兩兩轉換，但在實際應用中不同的表示方式展現出了不同的優劣性，感興趣的童鞋可以再去研究研究。