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作者：孫桂秋
湖南中醫藥大學數理教研室
01
少年求學
卡爾·費裡德裡希·高斯(Carl FriedrichGauss)於1777年4月30日出生在德國不倫瑞克城，父親是花匠、瓦工，還當過護堤工．高斯7歲那年入小學，頭兩年學習成績一般。
但到第三年，校長兼數學教師布特納有一次在課堂上出了一道算術題，要學生們計算出前一百個自然數的和.10歲的高斯用自己的辦法很快求出了答案：5050．
布特納非常賞識高斯的聰明，買來課外數學讀物獎勵高斯．布特納有位18歲的助手巴特爾斯也酷愛數學，非常器重高斯的才能，他們一起學習、討論了很多數學問題．後來巴特爾斯主持喀山大學的數學講座，羅巴切夫斯基是他的學生．
1788年，經過老師們的幫助，高斯進入一所中學．由於古典文學成績突出，高斯直接升入文科中學的二年級，後升入哲學班學習．
1791年，巴特爾斯等人找了卡洛琳學院的教授齊默爾曼，向不倫瑞克公爵費迪南推薦了高斯．公爵接見高斯時為他的樸實和才華所感動，答應為高斯提供全部資助．
因此，在1792年，高斯被送入不倫瑞克的卡洛琳學院學習語言學和數學．不倫瑞克公爵實為伯樂，始終負擔著高斯的學費．最後又將高斯送入著名的哥廷根大學，這是1795年的事．
1798年，高斯在哥廷根大學畢業，並於1799年在赫爾姆斯特得到了他的博士學位．得到博士學位後，高斯回到了不倫瑞克，在那裡他寫了一系列論文．因此，他於1807年得到了哥根廷大學天文學教授和天文臺臺長的職位，一直到1855年去世．數學史家斯特瑞克在《數學簡史》中對他作了如下的評論：
「他安靜地未被擾亂地擔任著天文臺臺長和他母校的教授．他相對地孤獨他對於純粹和應用數學的掌握，天文學方面的特殊愛好以及經常使用拉丁文，並夾雜著十八世紀的遺風，然而在他的工作中卻感受到了一個新時代的精神．與他同時代人康德、歌德、貝多芬及黑格爾站在外國正在進行的一場激烈偉大的政治鬥爭相比較，他在自己的領域內以一個最有力的方式展現了他的時代新觀念．
02
算術探究
高斯有一本專門記載數學發現的筆記本，後人稱為「科學日記」．
高斯在科學日記中記載了他十七歲時已有重要發現．如在1795年，他獨立於歐拉發現了數論中的二次互反律．一些早期的發現發表於1799年的赫爾姆斯特的學位論文中和1801年的《算術探究》中，該學位論文給出了代數基本定理的第一個證明．
這個定理遠溯於荷蘭的吉拉德1629年的著作《代數學新發現》，該書是以斯蒂文的《算術》為基礎寫成．其中首次闡明了負數的幾何意義，同時對方程的根作了認真的處理．這使他認識到代數基本定理，但未能給出證明．達朗貝爾在1746年曾試圖給出一個證明．
高斯很愛好這個定理，後來又給出兩個證明，在1846年又回到他的最初證明，彌補了該證明中的一些漏洞．第三個證明應用了復積分，說明高斯很早就掌握了複數論．
同餘式的研究可以追溯到古代，但《算術探究》中給出了同餘理論的系統論述，並首次使用了同餘符號．該書收集了前人在數論中的許多優秀成果，人們常常把這本書的出版算做近代數論的開端．
全書共七章：一般同餘；一次同餘；冪剩餘；二次同餘；二次型；應用；分圓問題．第三、四、五章為核心內容．他在二次互反律中達到了高潮．二次互反律是歐拉發現的，勒讓德也未能給出正確的證明，但「二次互反律」這個名稱屬于勒讓德．
高斯在《算術探究》中首次給出了：二次互反律的完整證明．高斯非常喜愛這個定理，稱之為「算術中的寶石」，後來他又發表了四個證明，據考,早在1796年高斯就已經證明了這個「黃金定理」．在高斯死後，人們又在其文稿中找到了兩個證明!
03
高斯的悲傷
高斯對天文學的興趣始於1801年，這一年的元旦，當皮齊在義大利西西里島的帕勒莫發現了第一小行星穀神星時，提出了一個問題，即怎佯從少數的觀測去計算一顆行星的軌道?
高斯解決了這個問題．該問題推出了一個八次方程．隨著1802年的智神星被發現，高斯開始感興趣於行星的長期攝動，從而寫出名著《天體運動理淪》.
1805年，高斯與製革商的獨生女約翰娜·奧斯特霍犬結婚．日後有了一子一女，叫約瑟夫和明納．但妻子在生第三個孩子時難產，不久即去世．不到半年，兒子路易斯亦未存活下米．不久，剛滿2歲的明納也夭亡．只留下滿4歲的兒子約瑟夫．
高斯於1810年8月再婚．悽子叫米納·沃爾德克是哥廷卡艮夫學法學教授的小女兒．第二次婚姻他又有二子一女．但對高斯來說，生活似乎再也沒有多少樂趣可言．他在給老鮑耶的一封信中說：「的確，在我的一生中，我獲得過許多世界性的榮譽．但是請相信我，我的好友，悲慘事件就像一截紅緞帶一樣編織起來，貫穿我的一生，⋯⋯」．
在這一時期高斯寫了《關於超幾何級數》的論文，使得可以從一種單一的準則來討淪多種函數．這也是關於級數收斂性最初的系統研究．其它方面的論文還有《關於一般橢體的引力》，《關於機械求積》以及《關於長期攝動的研究》．
04
熱衷測量學
1820年後，高斯開始熱衷於測量學，在這裡他理論研究結合了三角測量的實際．其中之一是最小二乘法的證明，這曾經是勒讓德和拉普拉斯的研究課題．高斯在這一時期中最重要的貢獻應是他的曲面論．
在《曲面的一般理論》中，他用與蒙日不同的方法處理其主題．也是出於實用考慮，這回是在高等測量學的範圍中，與微妙的理論分析緊密地聯繫著. 在這部著作中出現了所謂的曲面內蘊幾何學，也稱內在幾何學．
在1826年2月19日致奧爾伯斯的信中，他抱怨自己不能再如此努力而成果不佳，覺得應該去搞有別於數學的其它領域．這是高斯感到數學思想趨於枯竭的一個表白．
在1825年和1831年，他做了關於四次剩餘的工作．這是在《算術探究》中二次剩餘論的繼續，這次藉助了複數論．1831年的論文不僅給出了複數的代數運算，且給出了整複數概念．雖然歐拉和拉格朗日已經把這種數引入了數論，但高斯重新指出了它的重要性．
在這個新的素數論中，3依舊是素數，但5=(1+2i)(1-2i)不再是一個素數了．這個新的素數論澄清了算術中的許多模糊之處，從而使二次互反律變得比在實數中簡單了．在這篇論文中，高斯用平面中的一個點來表示複數，這就永遠驅散了多年籠罩著它的神秘性．
05
轉向物理學
作了四次剩餘的工作之後，高斯開始轉向物理學領域.雖然與韋伯在一起並沒有發明電報的想法，但他們在1833年確實研製了一種設備，按照電流通過電線的方向，使一根針向左或向右轉動．這一時期他還做了許多關於地磁實驗的工作．
在1840年，他寫出一篇有重要價值的文章．即《與距離平方成反比而發生作用的引力與斥力的普遍原理》，這是將位勢論作為數學對象進行系統計論的開始．位勢論的創始人是格林，但格林1828年的論文當時幾乎無人知道．現代分析中扮演重要角色的「狄利克雷原理」實為格林首創．這是一個關於空間積分的極小原理．高斯在文章中認為一個極小化函數V。的存在是顯然的．這個後來引起爭論的問題被希爾伯特解決了．
06
非歐幾何
高斯生前發表的論著並未將他的全部數學思想給出一個完整的輪廓．他的科學日記和部分書信的發表說明了他的頭腦確實出現過一些非常有洞察力的思想．比如，早在1800年，他發現了橢圓函數．在1816年左右，產生了非歐幾何的想法．關於這些內容他永遠沒發表過任何東西!僅在一些給朋友的信中流露了他曾企圖去證明歐幾裡得的第五公證設即平行公理的．
匈牙利的青年數學家鮑耶在1823年建立了非歐幾何理論．並寫信告訴他父親老鮑耶說：「我已從烏有中創造了另一個新奇的世界」．
經兒子的再三要求，老鮑耶才同意將這篇24頁的論文作為自己剛剛完成的一本數學著作《向好學青年介紹純粹數學原理的嘗試》的附錄發表．並在1831年6月20日將該附錄的樣稿寄給高斯，高斯沒有回信．
老鮑耶在1832年1月16日又給高斯寫信，高斯在3月6日的覆信中寫道：「關於你兒子的工作，當我一開始便說我不能稱讚他時，你一定會感到震驚⋯⋯，因為稱讚他便等於稱讚我自己．文章所有內容，你兒子採取的思路、方法以及所達到的結果，和我在30至35年前已開始的一部分工作完全相同，⋯⋯，但我本來就是不願發表的，⋯⋯．」歷史是公正的，鮑耶的論文加上標題和勘誤表共26頁，使鮑耶成為非歐幾何創始人之一．
鮑耶的經歷也是後人對高斯的是非功過評論得最多的地方．我們知道，從一種數學思想的產生到寫出論文之間仍有一大段路程要走，高斯並未沿著非歐幾何的思想走下去，這說明他對非歐幾何是持懷疑態度的．
他對鮑耶的冷漠充分說明了這一點．他完全可以開誠布公地鼓勵青年人去做這件事，事實上他沒有．他僅僅是早年對非歐幾何有了一些零星想法而已！因此說高斯是非歐幾何的創始人之一是有些欠妥的．
高斯生前並不想寫出該方面的論文也說明了這一點．高斯不願公開冒險任何有爭論的事物中．他在1829年1月27 日給貝塞爾的信上說他永遠不願發表這方面的成果．
在信中他說：「假如他不保守秘密，黃蜂會圍繞著他的耳朵飛」．且會聽到「波哀提亞人(指愚人)的叫喊」．高斯也懷疑世人所接受的康德關於空間學說的有效性，這種學說認為空間是歐氏的．對於他來說，空間的真實幾何是要靠實驗來發現的一個物理事實．
07
謝幕
1825年醫生診斷高斯患有心臟病．這可能與他長年(1818—1828)奔波在野外進行測量工作有一定關係．
1850年，高斯心臟病加重．
1851年，高斯審查了黎曼的博士論文，給予高度評價．
1854年6月，高斯聽了黎曼關於幾何基礎的答辯報告．
1854年8月，高斯的病情惡化，下肢水腫．
1855年2月23 日凌晨，高斯在睡眠中故去．
高斯的葬禮有政府和大學的高官參加．抬棺者中有24歲的戴德金，他曾選修高斯的最小二乘法課．
高斯的大腦作為解剖標本收藏於哥廷根大學．高斯一生共發表論文155篇．由眾多數學家參與整理的《高斯全集》由1863年開始，直至1929年完成，歷時66年，共12卷．其中，數學佔了一半以上．其餘為物理、天文、測地等學科以及其他作者對高斯工作的評論．
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