第六章
在我看來，一個人如果要在數學上有所進步，他必須向大師們學習，而不應向徒弟們學習。
——Proclus
最有價值的科學書籍是作者在書中明白地指出了他所不明白的東西的那些書，遺憾的是，這還很少本人們所認識到；作者由於掩蓋難點，大多害了他的讀者。
——伽洛瓦
1798年9月，高斯結束在哥廷根大學的四年求學後，回到了Braunschweig。為了安心工作，高斯在外邊租房。原因我們都知道，他的那個頑固的父親鄙視高斯獲取公爵的施捨搞數學研究。
這時的高斯21歲，這時的高斯已經確立了人生的偉大志向。但是，職業和生活的焦慮也開始折磨他了。我們知道大學畢業後，就得找一份工作，純粹數學研究這個玩意並不那麼直接有用。儘管高斯已經有了他自己認為的偉大數學貢獻，但是人們還沒有理由立即為他歡呼。毫無疑問，高斯回到家鄉不是衣錦還鄉，正十七邊形的尺規作圖問題發表在小雜誌上，沒有引起人們的廣泛關注。就算人們知道了這個工作，也暫時只把它看作是一個花哨的數學發現，而高斯的其它想法也還停留在腦海和數學日記中。
Braunschweig的人們也有些不滿的閒言碎語，畢竟高斯花了納稅人很多錢，而他似乎兩手空空就回來了。更糟糕的是，人們似乎覺得他還完全沒有打算去找一份實實在在的工作，比如會計、在St. Katharines學校當教師之類。基本上，好多人有深切的「傷仲永」之感。其實高斯在積極爭取找一個相對固定的工作，可惜幾次機會都失去了。高斯的父親也對高斯很惱怒，儘管他母親仍然用無盡的母愛支持高斯。
高斯只能再次求助於公爵。儘管高斯有些羞愧，但他還是相信公爵會給他支持。他在1798年9月30日寫給Bolyai的信中說：「在我找到正式工作前，我有理由相信公爵將會繼續提供他的援助。」很自然，Carolinum學院的Zimmermann教授已經在主動遊說公爵繼續資助高斯。
本來這件事不應該太困難。但是，據說由於公爵的父親以前花費太大，公爵正面臨破產。另外一個原因是，公爵不知道如何向人們交代高斯大學畢業了還要花納稅人的錢來專研數學。第三個原因是，公爵畢竟是封建社會的貴族。傲慢和無禮從小就被培養。財政上的煩惱讓他那段時間除了主動召見的人外，不接見任何別的來訪的人。後來，公爵終於讓人帶話給高斯，表示他仍然願意資助高斯進行數學研究，並希望高斯拿到哲學博士學位。這也表明公爵還是迫切希望高斯能夠有一個看得見的東西來交代多年的支持。其實這時的公爵還沒有完全意識到高斯的交代將是自己成為不僅僅德國、不僅僅歐洲、不僅僅全世界，而是幾百年一遇的科學巨人。若干年後，拿破崙的軍隊入侵德國。公爵奉命向俄國求助。俄國沒有給予直接幫助，卻念念不忘如何把高斯挖到俄國去。
從資料來看，公爵又過了相當長的一段時間才給予高斯資助。因此高斯這時處在相當尷尬的境地。高斯曾給Bolyai寫信說自己基本上靠賒購過日子，而且未來的幾個經濟來源都破滅了。很多人在這種局面下承受不了壓力，甚至會放棄對數學的追求。但是高斯不一樣，一系列宏偉的數學規劃正等著他去開拓，他正沉迷於將數學知識的邊界大大推進。
公爵讓人傳話給高斯希望他儘快拿到哲學博士學位。高斯在這種情況下，並沒有急於寫一篇論文來獲取哲學博士學位,而是想非常嚴謹地做點那種可以改變科學邊界的研究。在當時的歐洲，取得博士學位和現在的大學、研究所是很不一樣的。你幾乎可以在任何地方完成你的論文，然後提交給大學的教授們。他們審閱通過後，你就是博士了。當然，在18世紀這是可以做到的，也鼓勵了獨立科研的鍛鍊，研究成果也不會被別人霸佔。
現代的大學和科研院所在授予博士學位方面則是另外一種機制。上完大學後，你得首先成為碩士，然後攻讀博士。特別是在博士期間，一般而言，你需要在導師的指導下從事科研工作。或許你水平比導師還要高，但是因為導師和你在一起工作，而導師地位也比你高，因此最後你發表的論文通常導師也是共同作者，甚至還是更主要的作者，那怕是有的情況下導師完全不懂你在幹什麼。等到你發表了若干篇論文，也按步就班幹了幾年博士之後，導師就對你說開始寫博士論文吧。博士論文寫完後，組織一個答辯，通過後你就可以畢業了。經過這樣漫長的過程，拿到博士學位後，運氣好可以獨立進行研究，相當一部分人還不行，還得通過博士後來進一步歷練，證明自己能夠獨立開展工作。在西方，這時優秀的博士後就有機會獨立開展工作，也可以自己建實驗室、指導學生了。大量諾貝爾獎獲得者就是這樣成長起來的。在中國，這通常還不行，不是教授你多半不能成為博導，就算是教授你也未必是博導。不是博導的話，你就得幫人家帶學生（建實驗室絕大多數情況下必須得有學生），可是學生是人家招來的，掛在人家的名下，所以你得小心翼翼不要去貪功。
這樣比較起來，高斯儘管有挨餓、找不到工作的危險，他其實比現代的絕大多數想搞科研的年青人幸運多了。這一點可能讓很多人驚異，其實還真是如此啊。不僅僅是中國，整個世界可能都要考慮通過科學文化和制度的變革，讓年青人的激情可以在科學世界中更好地發揮。
高斯的另外一個幸運是很多人尤其是公爵支持他，讓他能夠全身心從事數學研究。在當時的歐洲，這樣的數學家恐怕不超過十個。高斯後來曾經謙虛地說如果其他數學家也有他那樣的條件全職做數學的話，他們也可以作出同樣多的重要發現。高斯這個話有一定客觀的成分，但是也的確有些謙虛。因為是否全心從事科學研究也取決於痴迷的程度和改變知識邊界線的勇氣。
現代有很多科學家常抱怨沒有時間做科研，儘管他已經擁有固定的職業，政府也出了工資和經費。這種抱怨部分反映了幾乎所有國家都存在的制度問題，但是那些極端的幾乎沒有時間搞科研的科學家首先要自我反省。
和現代的學子比，高斯還有一個幸運的地方。當時，進入數學研究需要學的基礎知識只要有高等一點的代數學、微積分之類就可以了。而由於過去兩百多年數學的急劇發展，要進行數學研究，得學更多的東西，而且慢慢你就只能到一個很狹小的數學分支領域進行研究了。你想在數學上全才，幾乎是不可能的。你到大學圖書館去看看書架上堆滿的數學專著就知道了，你要再去看看有多少本數學期刊，你就會更加明確這一點。
因此，現時代搞數學比高斯的時代就是要難得多，要取得高斯那樣巨大的成就也要難得多。但是如果你打好數學基礎的同時，跨越那些狹小的數學分支，高高地去看看就像地球上交匯的無數河流的那些數學分支，抱有改變科學邊界的那種決心的話，也還是有可能成為數學開拓者的。現代數學畢竟仍然有不少充滿傳奇的偉大數學家，比如陳省身、丘成桐、埃爾德什、佩雷爾曼、懷爾斯、陶哲軒等等。
高斯顯然極其看中哲學博士這個稱號，發奮多年，這是證明自己能力並改變科學邊界的絕佳機會。高斯選擇了代數基本定理這樣一個大的數學問題。這個問題是很好理解的，但是人們已經奮鬥了差不多兩百年，還是沒有解決，其中就包括高斯崇敬的歐拉和拉格朗日。後來，高斯在博士論文中還專門指出了歐拉和拉格朗日在證明代數基本定理犯下的錯誤。這個問題高斯已經思考了很多年，幾乎與Bartels在St.Katharines學校學習討論時，這個問題就一直種在心裡。差不多快十年了，終於到了拔出才智之劍，來解開這個問題上面纏繞的無數繩結。
哥廷根大學的經歷已經讓高斯的數學能力非常強大，打下的數學基礎極其堅實，也已經有了一點思想火化來解決這個問題。經過極其刻苦的大半年工作，高斯完成了博士論文並提交給Helmstedt大學（可以猜測公爵並不希望高斯到封地之外別的地方去答辯博士論文，比如哥廷根大學）。很自然，高斯的博士論文獲得了極高的評價。1799年7月16日，高斯被授予Helmstedt大學的哲學博士學位。
高斯將論文拷貝了三十多份，並寄給世界各地他認為最值得給予評價的科學家。儘管這一博士論文從歷史的角度是極為重要的，高斯也熱切希望得到好的評價，但是高斯並沒有得到很多熱烈的讚譽。高斯還需要更多的貢獻來引起數學家們的高度關注。高斯很快開始了一個極其宏偉的工作。那就是1801年發表的傳世名著《算術探討》。
高斯在哥廷根大學最崇敬的巨人是牛頓。相信他反覆研讀過牛頓的巨著《自然哲學之數學原理》。如果說正十七邊形的尺規作圖問題是一個精巧的研究，博士論文涉及的是更深刻的研究題材的話，要躋身於世界最頂尖的數學家行列，高斯還需要證明和發展自己的數學功底。高斯企圖通過《算術探討》將整個數論帶入到一個新的高度。歷史上有些傑出的科學家意外發現了重大的工作後，由於功底不夠會曇花一現，有的諾貝爾獎獲得者就由於功底問題一輩子可能就做了一項開拓性的工作。高斯的雄心是 「改變科學知識的邊界」，因此高斯完全不會滿足於已經作出的那些工作。對他來說，以前的那些工作不過是開胃小菜，真正的科學發現之盛宴才剛剛開始。
其實1797年底高斯還在哥廷根大學就已經開始著手這個宏偉的計劃了，但是畢業和博士論文讓這個計劃暫時打斷了。
得到博士學位後沒過多久，1799年十月，高斯來到Helmstedt在Pfaff教授家租了一間房入住下來。Pfaff這個人我們以前提到過，他在哥廷根大學都有很好的聲譽。高斯的博士論文，他也是名義上的指導老師。事實上，高斯回到Braunschweig後很快就拜訪了Pfaff。和Zimmermann相比，他是一個更專業的數學家。高斯到Helmstedt主要有幾個目的：一是在Helmstedt大學可以有更多的資料；二是可以和Pfaff教授討論數學問題；三是可以避開那些閒言碎語。
高斯為了《算術探討》極其刻苦。刻苦到什麼程度呢？除了Pfaff教授，別的人幾乎只能在晚上一小段時間看到高斯。
《算術探討》涉及了很多高斯個人的研究成果，而且還將數論以新的形式加以了描述。 1801年9月29日，經過包括出版、經費、科學問題等很多的周折，高斯用拉丁文撰寫的名著《算術探討》終於出版了。
Pfaff教授（1765－1825）在19世紀被認為是德國最傑出的數學家之一。Pfaff的老師就是哥廷根大學那個即懂詩又懂數學的Kästner教授。Pfaffian系統就是用他的名字命名。上百年後，他的思想在微分流行中加以了採用。提出著名的莫比烏斯帶的莫比烏斯也是他的學生。
《算術探討》的出版很快得到了那些同時代最傑出的數學家毫無保留的讚譽。高斯當年的偶像拉格朗日專門寫信給高斯說：「僅僅《算術探討》這一個工作就表明你已經躋身世界上最重要的科學家行列，最後一章涉及的內容是很長時間以來最漂亮的解析發現。」
就連法國科學家拉普拉斯都對高斯有極高的評價。拉普拉斯是個了不得的人。他既搞研究又參與政治，對拿破崙有很大的影響，後來還被封為侯爵。除了數學之外，他還從經典的角度第一個提出了黑洞。更神奇的是，他還猜測當時望遠鏡發現的一些星雲並不在銀河系內部，而是在銀河系外，和銀河系一樣是星系。單單後一個猜測就比哈勃的發現超前了一百年之久。和拉格朗日相比，拉普拉斯對高斯有一個更有趣的評價：「Braunschweig的公爵在他的地盤上發現了比行星更重要的東西:一個依附在凡人身上的精靈。」幾年後，拉普拉斯還會特別提醒拿破崙對哥廷根大學給予特別的重視，因為現時代最重要的科學家就在那裡教學和研究。
拉格朗日和拉普拉斯都是數學領袖，因此高斯完成《算術探討》後首先考慮在法國科學院發表。似乎任何偉大都得有點周折來增加故事的趣味性，高斯的這一請求被拒絕了。
1801年出版的《算術探討》封面
《算術探討》出版後引起的反響和高斯的博士論文形成鮮明的對照，因為《算術探討》表明高斯已經躋身於有史以來最偉大的數學家之一的行列。晚年高斯有一個有趣的自我評價：「《算術探討》屬於歷史。」晚年高斯的另外一個評價是：「在新的版本中，.，除了列印錯誤外，我不會改變任何東西。」可見年青的高斯治學之嚴謹。這也是高斯的數學日記中很多瑰寶沒有發表的一個原因。高斯的科學發現太多，以至於他沒有時間以最嚴謹的方式將這些發現全部寫成論文。
儘管是純學術著作，《算術探討》很快就脫銷了，以至於高斯後來的一些學生只好將書從頭到尾手抄一遍。唯一的遺憾是出版這本書的書商破產了，高斯幾乎沒有從這本書中直接得到金錢上的任何回報。當然，這不過是一個趣事罷了。
就在《算術探討》出版這一年的1月1日，義大利天文學家Piazzi發現了穀神星。這個天上的星體將瞬間讓高斯的聲譽在整個科學世界廣為傳遞。
1772年Bode猜測在火星和木星之間還應該存在一個行星。1800年，24個世界上最有經驗的天文學家被邀請聯合挑戰來尋找這顆行星。Piazzi就在被邀請之列。
這正是一個發現行星的年代，就連公眾對此都充滿熱情。很有意思的是，還沒有收到這個邀請時，Piazz在1800年1月1日發現了一顆小行星，那就是穀神星。Piazz的觀測一直持續到1800年2月11日（由於他生病的緣故，這一天觀測到後就被打斷了）。在這個期間，Piazz有24次觀察到了穀神星。
Piazz在1800年9月發表了他的觀察結果。可是這個時候，觀察穀神星的天文條件已經不具備了。人們估計1800年年底應該可以重新發現穀神星。但是，經過了這麼長的時間，人們不太知道它的具體位置，要重新找到它是非常困難的。很多科學家都開始考慮這個問題。若干科學家給出了預測，可是當人們朝著那個方向去尋找時，什麼也沒有看到。
1801年9月29日高斯的《算術探討》已經發表。24歲的高斯正鼓足幹勁想攻克別的科學難題。穀神星正是一個絕佳的機會。高斯通過發展他的最小二乘法，依賴於超強（應該可以說世界第一）的計算能力，經過幾周的艱苦計算，高斯給出了他的預測。1801年12月31日，Zach和Olbers就在高斯預測的那個角度找回了穀神星！正好一年的輪迴，上帝提供的穀神星仿佛只是為了證明高斯的偉大。高斯對於這個上帝的恩賜給予了積極的兩個回應。一個是更積極介入到天文學的研究，甚至在公爵資助下負責建立了一個天文觀測站；另外一個回應是高斯後來的小孩們都用天文學家的名字取名。
柏林和聖彼得堡都積極爭取高斯前往就職。公爵將高斯的年薪從158 Thalers提高到了400Thalers，並主動表示資助天文臺的建設。沒過幾年，年薪提高到了600 Thalers。高斯當然非常樂意表示繼續留在Braunschweig。
上帝還會給高斯一個恩賜。這麼多年以來，高斯除了科學還是科學。戀愛和婚姻似乎從不在考慮中。但是1803年，了不起的高斯在一個晚會上碰到了讓他一見鍾情的女人。高斯曾在給Bolyai的信中說：「我無法相信我有這樣的好運碰到這個非凡的女人。」高斯還稱讚她漂亮、溫柔、聰明、接受過良好的教育。高斯就像所有單相思的男人那樣，唯一擔心的是她是否愛自己，自己如此卑微怎麼配得上天上的仙女。高斯還不知道的是，這個天上掉下來的女子也正為傳說中人們正為高斯介紹的一個富貴少女而苦惱不已。自卑幾乎讓她不敢答應高斯的求婚。當然，這點小小的顧慮在愛情面前是極為軟弱無力的。1804年11月22日，28歲的高斯與Johanna幸福地走入了教堂，上演了數學王子和灰姑娘的童話故事。他們的相愛一直持續到Johanna因病去世。
我們已經不需要在這裡去展望高斯的未來了，高斯已經不用擔心他未來的職業和麵包。高斯唯一關心的是如何將數學日記中的思想呈現給世人。這一年是高斯戰勝數學、洞悉太空的奇蹟年，這一年高斯才24歲。 很多年後，也有一個奇蹟年，那就是1905年，那一年愛因斯坦26歲。下一章，我們將簡單回顧一下高斯帶給我們的精神財富。
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