高考數學必考點整理:集合命題及其關係

2020-09-20 點知教育

今天,老師為大家整理了命題及關係總結的知識點,建議大家都好好看看~

【集合】命題及其關係

【學習目標】

1.了解命題、真命題、假命題的概念,能夠指出一個命題的條件和結論;

2.了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題,會分析四種命題的相互關係,能判斷四種命題的真假;

3.能熟練判斷命題的真假性.[來

源:學科網]

【要點梳理】

要點一、命題的概念

用語言、符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫真命題,判斷為假的語句叫假命題.

要點詮釋:

1. 不是任何語句都是命題,不能確定真假的語句不是命題,如「」,「2不一定大於3」.

2. 只有能夠判斷真假的陳述句才是命題.祈使句,疑問句,感嘆句都不是命題,例如:「起立」、「是有理數嗎?」、「今天天氣真好!」等.

3. 語句能否確定真假是判斷其是否是命題的關鍵.一個命題要麼是真,要麼是假,不能既真又假,模稜兩可.命題陳述了我們所思考的對象具有某種屬性,或者不具有某種屬性,這類似於集合中元素的確定性.

要點二、命題的結構

命題可以改寫成「若,則」的形式,或「如果,那麼」的形式.其中是命題的條件,是命題的結論.

要點詮釋:

1. 一般地,命題「若p則q」中的p為命題的條件q為命題的結論.

2. 有些問題中需要明確指出條件p和q各是什麼,因此需要將命題改寫為「若p則q」的形式.

要點三、四種命題

原命題:「若,則」;

逆命題:「若,則」;實質是將原命題的條件和結論互相交換位置;

否命題:「若非,則非」,或「若

,則

」;實質是將原命題的條件和結論兩者分別否定;

逆否命題:「若非,則非」,或「若,則」;實質是將原命題的條件和結論兩者分別否定後再換位或將原命題的條件和結論換位後再分別否定.

要點詮釋:

對於一般的數學命題,要先將其改寫為「若,則」的形式,然後才方便寫出其他形式的命題.

要點四、四種命題之間的關係

四種命題之間的構成關係

四種命題之間的真值關係

原命題

逆命題

否命題

逆否命題

真[來源:Z+xx+k.Com]

假[來源:學科網]

[來源:學網]

要點詮釋:

(1)互為逆否命題的兩個命題同真同假;

(2)互為逆命題或互為否命題的兩個命題的真假無必然聯繫.

【典型例題】

類型一:命題的概念

例1.判斷下列語句中哪些是命題,是命題的判斷其是真命題還是假命題.

(1)末位是0的整數能被5整除;

(2)平行四邊形的對角線相等且互相平分;

(3)兩直線平行,則斜率相等;

(4)△ABC中,若∠A=∠B,則sinA=sinB;

(5)餘弦函數是周期函數嗎?

【思路點撥】依據命題的定義判斷。

【解析】

(1)是命題,真命題;

(2)是命題,假命題;

(3)是命題,假命題;

(4)是命題,真命題;

(5)不是命題.這是一個疑問句,沒有做出判斷.

【總結升華】對於命題真假的判斷應根據已學習過的已有定義、定理、公理及已有結論等進行.

舉一反三:

【變式1】判斷下列語句是否為命題?若是,判斷其真假.

(1)

(2) 當

時, ;

(3) 你是男生嗎?

(4) 求證:

是無理數.

【答案】

(1) 不是命題;由於無法確定變量的值,所以無法確定其真假.

(2) 是命題;假命題.

(3) 不是命題;這是一個疑問句,沒有做出判斷.

(4) 不是命題;這是一個祈使句,沒有做出判

斷.

【變式2】下列語句中是命題的是

A.

B.{0}∈N C.元素與集合 D.真子集

【答案】B

【變式

3】判斷下列語句是否是命題.

(1)這是一棵大樹;[來源:學網]

(2)sin30=

(3)x2+1>0;

(4)梯形是平行四邊形.

【答案】

(1)不是,無法確定「大」;(2)是;(3)是;(4)是.

類型二:命題的結構

例2.指出下面命題的條件和結論.

(1)對頂角相等;

(2) 四邊相等的四邊形是菱形.

【思路點撥】

命題都是一定的條件下推出的一定的結果,所以據此確定哪是條件,哪是結論。

【解析】(1)原命題寫成:若兩個角是對頂角,則這兩個角相等.條件:兩個角是對頂角;結論:這兩個角相等.[來源:學,科,網Z,X,X,K]

(2)原命題可寫成:如果一個四邊形的四邊相等,則這個四邊形是菱形.條件:一個四邊形的四邊相等;結論:這個四邊形是菱形.

【總結升華】要寫出一個命題的條件和結論,一般是把一個命題改寫成「如果p,那麼q」的形式,其中p是條件,q是結論.

舉一反三:

【變式】指出下列命題的條件p和結論q.

(1)若空間四邊形為正四面體,則頂點在底面上的射影為底面的中心;

(2)若兩條直線a和b都和直線c平行,則直線a和直線b平行.

【答案】[來源:Zxxk.Com]

(1)條件p:空間四邊形為正四面體;結論

q:頂點在底面上的射影為底面的中心.

(2)條件p:兩直線a、b都和直線c平行;結論q:直線a和b平行.

例3.將下列命題改寫為「若p,則q」的形式,並判斷其真假.

(1)垂直於同一條直線的兩個平面互相平行;

(2)對角線相等的平面四邊形是矩形.

【解析】

(1)「若兩個平面垂直於同一條直線,則這兩個平面平行」,真命題.

(2)「若一個平面四邊形的兩條對角線相等,則這個四邊形是矩形」,假命題.

【總結升華】有一些命題雖然表面上不是「若p,則q」的形式,但適當的改寫後可以寫成「若p,則q」的形式,那麼就能很清楚地看出其條件和結論.

舉一反三:

【變式1】把命題「6是12和24的公約數」寫成若p則q的形式.

【答案】若一個數等於6,則這個數是12和24的公約數.

【變式2】將下列命題改寫成「若p則q」的形式,並判斷真假.

(1)偶數能被2整除;

(2)奇函數的圖象關於原點對稱;

(3)同弧所對的圓周角不相等.

【答案】

(1)若一個數是偶數,則它能被2整除;真命題.

(2)若一個函數是奇函數,則它的圖象關於原點對稱;真命題.[來源:學科網ZXXK]

(3)若兩個角為同弧所對的圓周角,則它們不相等;假命題.

類型三:命題的四種形式

例4.寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,並判斷四種命題的真假.

(1)若,則;

(2)若,則;

(3)若一個三角形有兩條邊相等,則這個三角形有兩個角相等.

【思路點撥】

由原命題寫出逆命題,否命題和逆否命題時注意規律:

①交換原命題的條件和結論.所得命題就是逆命題.

②同時否定原命題的條件和結論所得命題就是否命題.

③交換原命題的條件和結論並且同時否定.所得命題就是逆否命題.

【解析】

(1)

原命題:若,則; 假命題

逆命題:若,則; 真命題

否命題:若

,則

; 真命題

逆否命題:若,則. 假命題

(2)

原命題:若,則; 真命題

逆命題:若,則; 假命題

否命題:若

,則

; 假命題

逆否命題:若,則. 真命題

(3)

原命題:若一個三角形有兩條邊相等,則這個三角形有兩個角相等;真命題

逆命題:若一個三角形有兩個角相等,則這個三角形有兩條邊相等;真命題

否命題:若一個三角形沒有兩條邊相等,則這個三角形沒有兩個角相等;真命題

逆否命題:若一個三角形沒有兩個角相等,則這個三角形沒有兩條邊相等. 真命題

【總結升華】

①一般地,先將命題改寫成「若…,則…」的形式,再寫出其他命題形式;某些命題存在大前提,寫其它命題時應注意保留.

②互為逆否命題的兩個命題是等價的,同為真或同為假,因此在判定真假時,只需判定二者中的一個.

舉一反三:

【變式】寫出下列的命題的逆命題,否命題和逆否命題,並判斷它們的真假.

(1)對頂角相等;

(2)空集A是非空集合B的真子集;

【答案】

(1)

原命題:如果兩角是對頂角,那麼這兩角相等(真命題);

逆命題:如果兩角相等,那麼兩角是對頂角(假命題);

否命題:如果兩角不是

對頂角,那麼這兩角不相等(假命題);

逆否命題:如果兩角不相等,那麼這兩角不是對頂角(真命題).[來源:Z*xx*k.Com]

(2)

原命題:若A是空集,則A是非空集合

B的真子集(真命題);

逆命題:若A是非空集合B的真子集,則A是空集(假命題);

否命題:若A不是空集,則A不是非空集合B的真

子集(假命題);

逆否命題:若A不是非空集合B的真子集,則A不是空集(真命題).

例5.設命題: 若,則關於的方程有實數根.試寫出它的逆命題,否命題和逆否命題,並分別判斷其真假.

【思路點撥】

判斷原命題,逆命題,否命題,逆否命題的真假時,只要判斷原命題與逆命題的真假,就可知道其它兩個命題的真假,不必一一判斷.

【解析】

逆命題:若關於的方程有實數根,則.

否命題:若

,則關於的方程無實數根.

逆否命題:若關於的方程無實數根,則.

①先判斷原命題和逆否命題的真假.

, ∴ 當時,方程有實數根.

∵當時,成立,∴ 方程有實數根,∴原命題為真,逆否命題也為真.

②判斷逆命題和否命題的真假

當方程有實數根,即時,推不出,∴逆命題為假,否命題也為假.

【總結升華】

先將命題中的條件等價轉化,然後關於不等式的集合的命題可以藉助於集合的韋恩圖解決.

舉一反三:

【變式1】試寫出下列命題的逆命題,否命題和逆否命題,並分別判斷其真假.

(1)當集合,時,若,則.

(2)若,則,

(3)若,則

【答案】

(1)

原命題:當集合,時,

若,則(假命題);

逆命題:當集合,時,若,則(真命題);

否命題:當集合,時,若

,則

(真命題);

逆否命題:當集合,時,若,則(假命題).

(2)

原命題:若,則(真命題);

逆命題:若,則(假命題);[來源:學網]

否命題:若

,則

(假命題);

逆否命題:若,則(真命題).

(3)

原命題:若,則(假命題);

逆命題:若,則(真命題);

否命題:若

,則

(真命題);

逆否命題:若,則(假命題).

【變式2】已知命題:「如果,那麼關於的不等式的解集是空集」,寫出它的逆命題,否命題,逆否命題,並判斷它們的真假.

【答案】

逆命題:如果關於的不等式的解集是空集,那麼;

否命題:如果

,那麼關於的不等式的解集不是空集;

逆否命題:如果關於的不等式的解集不是空集,那麼.

① 判斷原命題的真假. 當時,

,

故的解集為

,故原命題為真,則逆否命題亦真.

② 對於逆命題,當的解為空集時,

先研究

,滿足題意,

這樣與矛盾,故命題為假,而否命題與逆命題互為逆否命題,故否命題亦為假.

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