七年級培優題——快速準確填寫九宮格的方法

「九宮圖」傳說是遠古時代洛河中的一個神龜背上的圖案，故又稱「龜背圖」，中國古代數學史上經常研究這一神話。

圖1

例題精講:

(1)現有1,2,3,4,5,6,7, 8, 9共九個數字，請將它們分別填入圖1的九個方格中，使得行、列、斜對角三個數之和等於15.

(2)通過研究問題(1)，利 用 你 發 現 的規律，將3,5,-7,1,7,-3,9,-5,-1這九個數字分別填入圖2的九個方格中,使得行、列、斜對角的三個數的和都相等.

圖2

分析:因為九個數字分別填在「九宮圖」的九個方格中,每行、每列和斜對象上 三 個數之和相等. 由於「九宮圖」有三行和 三列, 所以每行或每列上三個數之和 等 於要 填入的九個數之和除以3. 「九宮圖」中央那個方格是突破口,那中央格要填哪個數呢?把待填的九個數從小到大依次排成一排, 中 間那個數(即中位數)就是先填入「九宮格」 中央格的那個數.下面用題(1)來講解,中央格填5.再填中間列,上格填第一個數1或最後一個數9.然後填對角線方格, 有兩條 對 角線,任填一條均可.上格填 第八個數或第二個數;那麼相應地, 下格 填第二個數或第八個數.如圖3、圖4、圖5、圖6所示.只要填了中間列和其中一條對 角線方格,那麼 餘下的方格就很容易填寫了.

解:(1)如圖7所示.

圖7

(2)3+5-7+1+7-3+9-5-1=9

9÷3=3, 即 行、列、斜 對角的三個數的和是3.

把3,5,-7,1,7,-3,9,-5,-1按從小到大的順序排列，得

-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9

因此，「九宮圖」中央格填1.

填寫完整如圖8所示.

圖8

總結:做諸如本題這樣3×3型「九宮圖」，我們可以記住以下口訣:

二四為肩，

六八為足，

上九下一，

左七右三，

五居中間.

我們 先把要填入的九個數從小到大 排 成一排, 再把中間那個數即中位數填入「九宮圖」中央格.然後用口訣中的「二四為肩」, 把 第二個數填入「九宮圖」上面橫行第一格,把第四個數填入「九宮圖」上面橫行第三格.這樣,我們就能填完「九宮圖」所有空格了.

所以，填3×3型「九宮圖」只需記住口訣「二四為肩」就能就能填完「九宮圖」了.例如:

把27,18,9,21,3,24,6,12,15九個數分別填入如圖1所示的「九宮圖」中，使橫 行、豎列、斜對角三個數的和都相等.

解題步驟:

①從小到大排列:

3,6,9,12,15,18,21,24,27

②行或列三個數之和:

(3+6+9+12+15+18+21+24+27)÷3=45

③把中位數(即第五個數)15填入「九宮圖」

④使用口訣「二四為肩」把第二個數6和第四 個數12依次填入「九宮圖」第一行第一格和第三格，如圖9所示

⑤用三個數之和等於45完成剩下方格的填寫.