在物理學過去的發展歷史中，還原論的觀點一直是物理學工作者進行研究的最基本的指導原則。它對整個學科的發展起到了巨大的推動作用，並取得了輝煌的成就。但是，以還原論為基礎來研究和討論複雜系統的合作現象時，卻遇到了前所未有的挑戰，從而使演生論的思想孕育而生，並成為當今物理學研究的重要指導原則。文章詳細介紹了凝聚態物理學中典型的演生現象的形成和發展的歷史過程，主要的研究內容和研究方法,以及所取得的重要進展。
撰文 | 張廣銘(清華大學物理系)、於淥 (中國科學院物理研究所、中國科學院理論物理研究所)
1 引言——還原論的輝煌和局限
當今，對我們身邊的物質世界比較流行的看法叫做還原論（reductionism），這是很多物理學家，特別是理論物理學家非常贊同的看法。而對我們學習物理學的人來說，這是一個非常基本的思維方法，即將一切複雜系統中出現的各種現象，都歸結為最基本的組成單元和決定單元行為的基本規律。或者說，將複雜還原為簡單，然後再從簡單重建複雜 (見圖1) 。回顧物理學的發展歷史，從原子、分子物理學到原子核物理學，最終進入粒子物理學，處處可見還原論的蹤跡：氣體、液體和固體都被分解為分子或原子的聚集體；原子又被分解為原子核和電子；原子核被分解為質子和中子，而質子和中子又被分解為夸克。歷史上，在每個還原階段中呈現出的穩定的微觀粒子，都曾被誤認為是「基本」粒子。同時，在每一還原層次,系統特徵的長度尺度迅速變小，而特徵的能量尺度則急劇升高。
圖1 還原論——逐本求源:宇宙從大爆炸開始產生基本粒子到原子核、原子、分子、晶體，最後到生物大分子的過程
同時，還原論的思想與大統一的過程相伴隨。在19世紀中，電力與磁力由 Maxwell統一為電磁力， 光波也被併入電磁波譜。到20世紀中期，自然界中被確定的四大基本相互作用力：引力、電磁力、弱力和強力，這些力的統一問題是20世紀理論物理學的一個重要組成部分。愛因斯坦晚年的夢想，就是建立一個大統一的理論。20世紀60年代，Glashow， Weinberg和Salam 成功地將弱力與電磁力統一；到70年代，又把強力包含進去，建立了「標準模型」。但這不是描述基本相互作用的統一理論，它不包括引力，不能解釋許多令人困惑的現象，諸如暗物質、中微子振蕩等。還原論的最終目的是試圖建立一個包羅萬象的「大統一理論暠，即萬事萬物的理論（theory of everything）。
如果我們所考察的體系包含很少的粒子，通過理論計算預測的結果可以與實驗十分一致。然而，由於數值計算的困難程度隨著體系尺度的增大而指數增加，乃至在可以預計的將來無法從理論上準確預測大量粒子組成體系的性質。更重要的是，物質結構實際上可以劃分為一系列的層次，各層次有其組成的「基本」粒子及其特徵長度和特徵能量，而且各層次之間除了一定程度的耦合外，每個層次還存在自己特有的基本規律（見圖2）。由於各層次之間的這種脫耦性質，使得從簡單構築複雜並不像設想的那麼容易，從而切斷了粒子物理學對其他能量尺度小許多的物質結構層次的影響。因此，我們確實能夠按 照古希臘人的理想把一切複雜的系統分解成最基本 的單元，並了解這些單元的行為，但是,對於複雜系統本身的豐富物理現象而言，我們卻還是一無所知！
圖2 物質結構被劃分為一系列的層次，各層次有其組成的「基本「粒子以及其特徵長度和特徵能量，每個層次還存在自己特有的基本規律
2 演生現象——物理學研究的新範式
早在1972年，美國著名的凝聚態理論物理學家 Philip W.Anderson 就對過分強調還原論的思想方法（有時也稱為「建構論」——Constructionism）提出質疑。他在美國《科學》雜誌上發表了一篇文章，題目叫 More is different[1]，中文翻譯過來就是:「多者異也」。文章非常深刻地指出，「將萬事萬物還原成簡單基元及其基本規律的能力，其實並不蘊含著從這些規律出發重建整個宇宙的能力...... 當面對尺度與複雜性的雙重困難時，以還原論為基礎的建構論的假定就完全崩潰了。其結果是，大量基本粒子構成的巨大複雜聚集體的行為並不能依據少數粒子的性質，做簡單的外推就能理解。取而代之的是，在每一個複雜性的發展層次之中，都會呈現出全新的物理概念、物理定律和物理原理，要理解這些新行為所需要做的研究，就其基礎性而言，與其他研究相比,毫不遜色」[1]。這就是說，由大量基元（agent）構成的複雜體系在每一不同的聚集層次，都會呈現出許多預想不到的全新複雜物理性質，這些性質已經遠超出組成基元的物理學規律（見圖3）。按照這種看法，物理學所做的研究工作，重要的是承認這些客觀的現實，以它為依據，找出它的基本規律，理解這些全新現象是如何「emerge」出來的。
圖3 隨著特徵能量尺度或溫度的不斷降低,凝聚態物理體系不 斷呈現出新奇的量子現象
「Emerge」的名詞形式「emergence」，目前尚無公認的譯法，曾被翻譯成「層展」或「呈展」。根據 emerge 在生物學中有「演化「的含義，加之它所描述的性質又是「從無到有」的，把它譯成「演生「似乎更為恰當。一個多世紀以來，生物學家推測，生命是從無生命物質在沒有上帝或其他因素幹預下，「偶然地」（如達爾文所說）「演生「出來的。實際上，進化生物學家們把整個的生物進化過程看成是由比較簡單的對象到比較複雜對象的演化。這裡所指的「演生」是由於尺度變化 所導致的新特性，這類現象在生命體系中是層出不窮的。在一定意義上說，「多者異也「就是把演生的概念應用到研究物理問題並加以推廣」[2]。
有關演生現象還有另外一個值得注意的特點, 即從非常簡單的相互作用之中展示出複雜的結構。讓我們從一滴水說起，這是日常生活中大家都非常熟悉的事情。一滴水有多少個分子很容易算出來，2mm 直徑的水滴，算一下它的體積，乘上阿伏伽德羅常數，除上18，差不多是10^20個水分子。從日常生活當中大家都有經驗，水在正常的大氣壓下被加溫到100°C時，就變成蒸汽，蒸汽升高到天空中形成彩雲。同樣，一滴水在正常的大氣壓下降溫到0°C 的時候會結成冰，冰的晶體是非常漂亮的（見圖4）。相變是演生現象最具代表性的例子，一滴水這樣一個簡單模型系統中出現的合作現象可以說明在複雜性方面我們可以走得很遠[3]。L.P.Kadanoff 在 1991 年曾撰文指出，「在自然世界中觀察到結構的豐富性並不是物理定律複雜性的結果，而是由極其簡單的定律多次重複應用而產生的「。這裡單個的水分子結構沒有改變，相互作用也不變，為什麼 10^20個水分子，會「集體地」、「不約而同地「從一個相變到另外一個相？ 新的相在老的相中是如何孕育、如何形成的？ 不要說10^20個水分子，就是100個人，要有秩序地從一個門走出去，還得需要大家自覺地遵守紀律，一個一個地走出才行。為什麼10^20個水分子，可以那麼集體地、不約而同地、很默契地做這件事情？
圖4 部分絢麗多彩的冰晶結構
3 對稱破缺——熱力學相變的本質特徵
對於相當多的體系，「對稱破缺「是很直觀的概念：一個正方形具有8個對稱元素，變成長方形就只剩下4個了，這種對稱性的降低或「丟失「就是破缺。類似地，一個小磁體，沒有外場時可指向任意方向，具備旋轉對稱，但在外場中它指向外磁場方向，旋轉對稱性就破缺了。這裡主要討論的不是這類例子，而是非平庸的，即當體系的「粒子」數趨向無窮大時（熱力學極限下）的對稱性破缺問題。從數學上看，有限自由度的體系和無限自由度的體系有根本性的不同。有限體系只有一個狀態空間（數學上叫希伯特 (Hilbert)空間），粒子數確定，不同的表示相當於取不同的坐標系，不同粒子數的態屬於不同的空間。然而，無窮自由度的體系可以用不同的狀態（希伯特） 空間表示。「對稱破缺「是指從一個希伯特空間表示到另一個表示的轉變[4]。
一個宏觀的物理體系隨著溫度的逐步降低，從一個無序相變到一個有序相，我們稱之為熱力學相變。相變的微觀機制是構成系統的微觀粒子之間的相互作用和微觀粒子本身無規熱運動相互競爭的結果，而溫度則是調節兩者相互競爭強弱程度的外參量。當我們把相變進行分類時，我們注意到體系的化學勢或熱力學函數通常依賴於溫度、體積和壓力。如果在相變點，熱力學函數本身是連續的，但是它的一階導數是不連續的，比如體積、熵有躍變，對應的相變叫做第一類相變。冰的溶化和水的汽化是第一類相變。如果熱力學函數和它的一階導數在相變點都是連續的，只是二階導數不連續，有躍變，所對應的相變就叫第二類相變，超導、超流、順磁-鐵磁、氣-液臨界點都屬於第二類相變。有時我們稱它們為「連續相變」，說的都是同一件事。
描述相變要引入「序參量「，液體和氣體的密度差， 或者鐵磁體的自發磁化強度，就是序參量。序參量為某一物理量的平均值，可以是標量或矢量，甚至是張量。 在第一類相變點，序參量有躍變，而在連續相變點，它是連續變化的。在通常情況下，當溫度比較高的時候， 系統處在對稱性比較高的狀態；隨著溫度逐漸降低，系統所處物態的對稱性發生自發破缺。例如，鐵磁體有一個自發磁化，或者向上，或者向下，這時上下是不對稱的。溫度高於相變溫度，即居裡點以後就沒有自發磁化，上下的對稱就恢復了。對稱性的降低意味著出現有序相，其序參量值不等於零。在高溫相，序參量的值為零，在低溫相為一有限值。序參量是被用來定性地和定量地描述低對稱相對於高對稱相的偏離。朗道的對稱破缺相變理論指出，不同的相之所以有差別，就是因為它們具有不同的對稱性，相變不過是系統對稱性發生轉變的過程。對稱性破缺理論描述了幾乎所有已知的有序相，諸如固態相、鐵磁相、反鐵磁相、超流相等，以及它們與無序相之間的相變[4, 5]。
怎樣描述相變? 有一個最簡單的理論，就是所謂的「平均場理論「：認定一個粒子，把這個粒子受到其他粒子的相互作用以它的平均值來代替，這個平均值叫作「平均場」，再把這個平均值「自洽「地定出來。從1873年的範德瓦爾斯氣體狀態方程，到1907年的外斯分子場理論，再到1934年布拉格-威廉士的合金有序化理論，直到1937年朗道二類相變「普遍」理論，都說的是同一回事。平均場理論看起來非常簡單漂亮，對相變的描述是有效的，但很可惜， 在臨界點附近跟實驗不符，而且差別非常明顯，是不可「調和「的[3]。1944 年，挪威的理論 物理學家Onsager對Ising模型（一個描述順磁-鐵磁系統的最簡單物理模型）進行了研究，他找到了這個二維Ising模型的嚴格解，發現比熱在臨界溫度時呈現對數發散，而不是平均場理論預言的有限躍變，這是對平均場理論最大的挑戰。
但是，人們注意到一個非常有意思的現象：如果根據「標度假定」，把磁場、磁化強度和溫度重新「標度」，發現不論是鐵磁體系，還是氣—液體系，做一個尺度變換之後，不同體系的實驗點都落在同一條線上，表現出一種「普適性」。所謂「標度變換「，就是一個尺度的變換。拿自旋的例子來講，考慮一個由三個自旋組成的團簇，其中兩個向上，一個向下，我們按照「少數服從多數「，把這個自旋的團簇用一個向上的有效自旋代替，再做一個尺度的變換。這個尺度變換以後，各種熱力學量就會做相應的變換，可以推出所謂的「標度律」。「普適性」和「標度律「的物理起源是體系本身在接近臨界點的時候，構成體系的微觀粒子互相關聯起來了，不約而同地集聚 （見圖5）。雖然粒子和粒子之間的相互作用是短程的， 但是在接近臨界點的時候，互相有關聯的粒子會變得越來越多，這個特徵長度，即關聯長度，變得非常長了，真正在第二類相變的臨界點時候它是趨向於無窮的。所以，這裡不是沒有規律，而是要探求新的規律，包括臨界點附近關聯長度如何增長[4]。
圖5 在鐵磁相變的臨界點，系統中原子磁矩的關聯漲落很大， 關聯長度趨於無窮大，並形成許多大小相套磁疇
4 重正化群——研究演生現象的有效手段
真正解決這個問題的是原來研究量子場論和粒子物理的威耳遜 (K.G.Wilson)，他提出了臨界現象的重正化群理論，並因為這個劃時代的貢獻，獲得了1982年的諾貝爾物理學獎。平均場理論的失敗是因為不能很好地描述相變點附近的漲落現象，而重正化群理論的成功正在於能非常有效地描述這些漲落。這種理論，簡單來講就是考慮不同尺度的漲落：先把短距離、小尺度的漲落處理掉，然後再考慮比較大的尺度的漲落，最後給出一個算法，算出臨界指數，定量地描述各種物理量如何隨逼近臨界點而變化，直接與實驗比較。現在用一個圖說明一下（見圖6），在這個理論的框架裡，物理體系用參量空間來描述。它的圖像非常像一個馬鞍。在鞍點附近，有兩種不同的參數變化方向。如果沿其中一個方向運動時， 系統會往下滑，離鞍點越走越遠，這個方向的參數叫做「有關參量「。如果在另一個參數方向運動，系統離鞍點越走越近，這個方向的參數叫做「無關參量」。前面所說的標度律，就表示只有兩個有關參量。很多不同體系都表現出來同樣的性質，叫做普適性；同樣一個不動點（鞍點）控制參量空間的一個區域，屬於這個區域的系統對應同一個「普適類「，具有相同的臨界指數。臨界指數僅依賴於空間的維數，依賴內部自由度的數目和相互作用力程的長短。在重正化群理論發現以後，人們認識到平均場理論要到四維以上的空間才成立，而實際的複雜物理系統大都是三維空間，所以它是不對的。後來，人們在太空無重力影響的條件下，做實驗測量臨界指數，準確到小數點後第三位，結果與理論計算完全一致。在這個理論中沒有任何可調參數，它的成功說明理論思維的威力，說明理論抓住了自然現象的本質，這件事情對物理學的發展有非常重要的影響。
圖6 在參數空間中，臨界點附近的重正化流形圖
重正化群方法不僅解決了相變問題，還對研究許多凝聚態物理的難題很有幫助，近藤 (Kondo) 問題[6]是另一個突出的例子。威耳遜用數值重正化群求得了近藤問題的精確解，與運用貝特 (Bethe) 假定得到的解析解一致，嚴格論證了 P.Noziers的費米液體假說，其實，安德森的poorman's scaling是對近藤問題運用重正化群研究的最早嘗試。重正化群是研究演生現象的一種有效方法。當然，它不是唯一的，也不是萬能的方法。如果千姿百態、豐富多彩的真實自然現象都能用同一個模子、同一框架去描述，那就失去了它無窮無盡的魅力。安德森自己的科研實踐也體現了這一點。「多者異也」一文發表後，他最關注的就是複雜的現象如何從簡單的體系中「演生」出來[1]，諸如磁矩如何從非磁背景中產生等。而「自旋玻璃」的研究開拓了「複雜系統」研究的廣闊領域， 從「貨郎擔」的組合優化問題、隨機圖論，到計算複雜性、自糾錯編碼，甚至金融市場。
相變和臨界現象是演生論最好的例證[3]。對稱破缺、平均場理論的失效，關聯長度的發散，相變的孕育，標度律和普適性，重正化群的應用和實驗檢驗，說明我們做事情要先了解實驗事實，從現實出發歸納出基本規律，然後找出描述基本規律的理論，這中間當然要做一些假定。此外，粒子物理裡的所謂Higgs機制實際上類似於超導體中出現的 Meissner效應。粒子物理整個的圖譜，是建立在弱電統一理論的基礎上的，即「標準模型「。如果沒有從相變和超導理論引入的對稱破缺的概念，就不可能有這些發展。 宇宙大爆炸的模型被越來越多的天文觀測所證實， 為什麼宇宙會加速爆脹，這裡就必須運用相變的觀念。物理學的各個分支，實際上是由演生現象把它們非常密切地聯繫在一起，如凝聚態物理和統計物理與其他分支有非常密切的關係，和物質結構、天體演化、量子態的調控以及其他前沿技術都有密切的關係，其中熱力學相變和臨界現象都是這些領域裡的重要而基本的物理現象。
5 元激發——「準」粒子的起源
對於一個典型的多體系統，在高能或高溫時，系統的性質是由構成此系統的原子或分子之間的相互作用來決定的，這種相互作用可能非常複雜並很特別。隨著溫度的降低，由於原子之間的相互作用，根據朗道的對稱破缺理論，系統的連續平移對稱性在低溫下會發生自發破缺，從而形成一定的晶體結構或者超流液體態。在這一系統的基態中，唯一的低能激發是原子在各自平衡位置附近的振動，這種激發類似於我們日常生活中熟悉的聲波。在基本的量子理論中，所有波都有對應於量子化的微觀粒子，與聲波相對應的量子化的微觀粒子被稱為聲子 (phonon) 。聲子與原來的原子或分子極為不同，他們有著非常簡單而普適的性質，他們的集合完全可以用來描述整個晶體或超流態系統的低能物理行為[7]。
由於大多數晶體的形成在空間的3個方向上破壞了平移對稱性，原子的集體振動將產生3種無能隙聲子。因此，我們可以說，無能隙聲子的起源是平移對稱性在固體中的破缺。此外，對於超流體，除了聲子外，還存在另外一種元激發粒子，稱為旋子。旋子之間可以通過交換聲子相互關聯，從而導致反比於距離4次方的偶極相互作用[7]。這裡一個新的、完美的物理定律在凝聚的多體物質系統中演生出來! 更多的例子如表1所示。在凝聚態物質系統中，支配「基元」的物理定律常常是特定且非普適的，而支配低能集體激發的物理定律卻是普適的、完美的。雖然這些集體激發的行為與粒子非常相像，但它們不是基本的。如果我們在小尺度上仔細觀察這些集體激發，就會看到複雜的、非普適的多原子系統。因此，支配集體激發的物理定律的簡潔與完美不是來自於原子之間相互作用的簡潔性，而是來自於這些物理定律必須保證集體激發要在低能極限下演生出來[1]。
此外，現有的多體理論有兩大基石，即朗道的對稱破缺理論和費米液體理論。費米液體理論的核心是認為相互作用的費米子組成的複雜多體系統的行為類似一個自由費米系統，其所對應的微觀粒子稱為準粒子。準粒子和原來的費米子具有相同的電荷， 滿足相同的統計規律，但是準粒子具有一定的有效質量和壽命，而且不能離開母體單獨存在，所以稱「準」粒子。朗道的費米液體理論描述了幾乎所有已知金屬的低溫物理性質，它還構成了我們對於超導體、反鐵磁體等許多非「正常」金屬態的認識基礎，這些非正常金屬態可以被認為是費米液體的某些不穩定的、對稱性破缺的基態。另一方面，費米液體理論也十分令人費解，因為普通金屬中電子之間的庫侖相互作用能和費米能是一個量級，同時比費米能量附近的能級間距要大很多。微擾理論對如此強的相互作用已不再適應，很難相信一個如此強大的相互作用的多電子系統能與一個無相互作用準粒子系統的行為相像。然而，自然界本身一遍又一遍地提醒我們：儘管有強大的庫侖相互作用，金屬的低能行為仍與一個自由準粒子系統類似，這又是重正化群思想再奏凱歌! 直到20世紀80年代末，由於分數量子霍爾效應和高溫超導體的發現，朗道的費米液體理論才受到嚴重挑戰。
綜上所述，凝聚態物理學新的範式已經形成：對稱性在此是主角，對稱破缺導致有序相的出現（見表1），基態通常是最大的有序態；激發態顯示恢復原本對稱性的傾向，因而出現各式各樣的元激發與拓撲缺陷；在臨界區域，漲落的關聯長度達到宏觀尺度，直到臨界點，這是有序與無序相「合二而一「。
表1 具有對稱破缺現象的特徵凝聚態物質系統
6 結 束 語
凝聚態物理「最精採」的篇章是相變和臨界現象，元激發——聲子、等離激元、自旋波、激子、極化子……，朗道費米液體理論，玻色-愛因斯坦凝聚，超流，超導，約瑟夫森效應，量子霍爾效應，量子相變…… 這所有的一切都是演生現象最好的例證！一方面，演生系統的低能行為對於粒子的微觀結構不敏感，具有「魯棒性「 (robustness)，是因為有一些更「高」的原則在「保護「它，如對稱性或系統的拓撲性質。只有超越這個能量尺度，我們才能「看到」更微觀的結構。另一方面，「演生"出來的「新粒子"和「新的量子數「，不是由「組成基元」的性質直接推演出來的。我們對演生現象的認識往往是曲折的：首先承認基本的實驗事實，尋求「唯象「的描述，作大膽的假設和推測，探索微觀「論證」，作出進一步的理論預言，最後由實驗檢驗。
演生現象是自然界的普遍規律嗎？研究微觀和宇觀的學者承認對稱破缺、多重真空，對演生論有保留，但超弦理論學家同意空間維數是「演生「出來的，時間「看來也是」。有人甚至認為宇宙本身也是「演生「出來的，生命現象看來更是「演生」出來的。不過, 我們應該認為,還原論和演生論是兩種不同的研究方法，前者為 Top-down，後者為 Bottom-up。這兩者既是對立的，但又是互補的！探索物質運動集體行為的演生現象是一個新的學科前沿，與粒子物理、宇宙學有密切關係，並與之相互補充；研究演生現象的科學觀和方法論對認識生命現象，理解認知過程乃至社會現象，都有重要的意義。
致謝：作者衷心感謝中國科學院物理研究所向濤研究員、王楠林研究員多年來在眾多相關問題上的有益的討論。
參考文獻[1] AndersonP W.Science,1972,177:393 [2] Schweber S. PhysicsToday,1993,(11):34 [3] 於淥,郝柏林,陳曉松.相變和臨界現象.北京:科學出版社,2005 [Yu L,Hao B L,Chen X S.Phase and critical phenomena. Beijing: Science Press, 2005(in Chinese)] [4] Anderson P W. Basic Notions of Conedensed Matter Physics. Menlo Park: Benjamin,1984 [5] 馮端,金國鈞.凝聚態物理學(上卷).北京:高等教育出版社,2003[Feng D,Jin G J.Condensed Matter Physics(I).Beijing: Higher Education Press,2003(in Chinese)] [6] 張廣銘,於 淥.物 理,2007,36:434 [Zhang G M,Yu L.Wuli (physics) 2007, 36: 434(in Chinese)] [7] 文小剛.量子多體理論——從聲子的起源到光子和電子的起源.北京:高等教育出版社, 2004[Wen X G. Theories of Quantum Many-Body Systems: From the origin of phonons to the origin of electrons. Beijing: Higher Education Press,2004 (in Chinese)]
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